ავტორი: სერგი ავალიანი

გამომცემლობა “განათლება”, თბილისი, 1974

კორექტორი: მარიამ გორდაძე

სტატია გააციფრულა კატო მეუნარგიამ

გელა გელაშვილის ბიბლიოთეკიდან

სასრულისა და უსასრულოს არსებას, ფართო აზრით, დასასრულის ქონება ან უქონლობა განსაზღვრავს. სასრული სწორედ იმიტომ არის ასეთი, რომ იგი დასრულებულია, დასასრულის მქონეა. უსასრულო, პირიქით, მოკლებულია დასასრულს, იგი არის უ-სასრულო, ე.ი. უდასასრულო, ანუ ის, რასაც არა აქვს დასასრული.

დასასრულის ცნება დასაწყისის ცნებისგან განუყრელია; კიდევ მეტი, დასასრული და დასაწყისი ხშირად ადგილებს იცვლიან. „თუ დასასრულს უკუვაგდებთ, დასაწყისი დასასრულად იქცევა, იმ ერთ დასასრულად, რომელიც მწკრივს აქვს და პირიქით“.^[1] ამდენად, დასაწყისსა და დასასრულს ერთი და იგივე შინაარსი აქვთ. კონკრეტული საგნებისა და მოვლენების თვალსაზრისით, ისინი, ცხადია, სხვადასხვაა (ვინაიდან ამა თუ იმ საგნის წარმოშობას ან მოსპობას სრულიად გარკვეული შინაარსი აქვს), მაგრამ, ზოგადად, მათ შორის განსხვავება არ არის. ერთი საგნის დასაწყისი (როგორც სივრცეში, ასევე დროში) იმავე დროს მეორის დასასრულია და პირიქით. მაშასადამე, დასასრული და დასაწყისი არა მხოლოდ განუყრელია ერთმანეთისგან, არამედ, გარკვეული აზრით, იგივეობრივიც კია.

აქედან გამომდინარეობს, რომ სასრული და უსასრულო დაკავშირებულია არა მხოლოდ დასასრულის, არამედ, აგრეთვე, დასაწყისის არსებობასთან. უფრო ზუსტად რომ ვთქვათ, როდესაც ამბობენ, რომ სასრულისა და უსასრულოს არსებას დასასრულის ქონება ან უქონლობა განსაზღვრავს, მაშინ დასასრულის ცნების ქვეშ დასაწყისსაც გულისხმობენ. სასრულს დასასრულიც აქვს და დასაწყისიც. უსასრულოს კი არც ერთი აქვს და არც მეორე.

დასაწყისი და დასასრული, გარკვეული აზრით, საზღვარია; სასრულს აქვს დასაწყისი და დასასრული, ე.ი. საზღვარი; ეს ნიშნავს, რომ იგი განსაზღვრულია; უსასრულოს კი, პირიქით, არც ერთი აქვს და არც მეორე, ე.ი. მას არა აქვს საზღვარი; ამიტომ იგი უსაზღვროა, განუსაზღვრელია, ე.ი. დაუსრულებელია, ანუ უსასრულოა.

დასაწყისისა და დასასრულის, ე.ი. საზღვრის შესახებ შეიძლება ვილაპარაკოთ რაოდენობრივი და თვისებრივი მნიშვნელობით. ამის შესაბამისად არსებობს რაოდენობრივი და თვისებრივი (ანუ რაოდენობრივ-თვისებრივი) სასრულობა. რაოდენობრივი სასრულობის ქვეშ იგულისხმება, ერთი მხრივ, მოცემული სიმრავლის ელემენტების რიცხობრივი განსაზღვრულობა (მაგ., სხეულის შემადგენელი ატომების რიცხვისა, დედამიწაზე ადამიანთა რიცხვისა და სხვ.), ხოლო, მეორე მხრივ, სივრცესა და დროში განსაზღვრულობა. ყოველი ცალკე აღებული საგანი ან მოვლენა სივრცესა და დროში განსაზღვრულია; მას ყოველთვის გარკვეული სივრცითი ზომა და დროის შუალედი აქვს. მატერიალური საგნები და მოვლენები წარმოიშობიან („იწყებიან“), დროის გარკვეულ მონაკვეთში არსებობენ და, ბოლოს, ისპობიან („დასრულდებიან“); ეს ნიშნავს, რომ ყოველგვარ არსებულს აქვს დასაწყისი და დასასრული, ე.ი. სასრულია. მოძრაობა, რომელიც მატერიის განუყრელი თვისებაა, ცალკეული მიმდინარეობის სახით გამოვლინდება, რომელსაც სივრცესა და დროში დასასრული და დასაწყისი აქვს. მატერიალური საგნებისა და მოვლენების სიმრავლესა და მრავალფეროვნებას მათი სასრულობა განაპირობებს.

მაგრამ კონკრეტული საგნები და მოვლენები სასრულია არა მხოლოდ რაოდენობრივი, არამედ თვისებრივი აზრითაც (ვინაიდან არსებობს არა მხოლოდ რაოდენობრივი, არამედ თვისებრივი საზღვარიც). ყოველ საგანს სრულიად გარკვეული თვისება აქვს; ეს ნიშნავს, რომ მას არა აქვს სხვა თვისება. ამ გარემოების დადგენა თვისებრივი საზღვრის დადგენას ნიშნავს; სწორედ თვისებრიობაა შინაგანი განსაზღვრულობა, ე.ი. თვისებრივი საზღვარი. ყოველი განსაზღვრება განსასაზღვრი ობიექტის შინაგანი განსაზღვრულობის (თვისებრიობის) გამოთქმაა; აქედან გამომდინარეობს, რომ ცნების განსაზღვრება ობიექტის შინაგანი უარყოფითი ბუნების, ე.ი. თვისებრივი განსაზღვრულობის (სასრულობის) დადგენაა (determinatio est negatio).

მაშასადამე, ყოველ კონკრეტულ ობიექტს აქვს რაოდენობრივი და თვისებრივი განსაზღვრულობა, ანუ რაოდენობრივი და თვისებრივი საზღვარი, სწორედ ამიტომ იგი არის „რაღაც“, ე.ი. კონკრეტული, ინდივიდუალური, სასრული არსი. „რაღაც“ ყოველთვის სასრულია, ვინაიდან მას რაოდენობრივი და თვისებრივი საზღვარი აქვს, ე.ი. აქვს ის, რაც მას სხვა „რაღაც“-ისაგან გამოყოფს, განასხვავებს. „რაიმე? – მაშასადამე, არა ის, რაც სხვა“.^[2] („нечто – значит, не то, что другое“). სწორედ სხვისი, როგორც საზღვრის, არსებობა გამოხატავს სასრულის არსებას. „როდესაც ნივთებზე ლაპარაკობენ, რომ ისინი სასრულია, ამით აღიარებენ, რომ მათი არაყოფიერება არის მათი ბუნება („არაყოფიერება არის მათი ყოფიერება“).^[3]

ამრიგად, კონკრეტული საგნები და მოვლენები სასრულია; უსასრულო საგნები ბუნებაში არ არის.

ამის საფუძველზე ზოგიერთი მკვლევარი უსასრულობის არსებობას საერთოდ უარყოფს. მაგალითად, დ. ჰილბერტი ფიქრობს, რომ „რა ცდები და დაკვირვებები და მეცნიერების რა დარგიც კი არ უნდა განვიხილოთ, უსასრულობას სინამდვილეში ვერსად ვერ ვიპოვით“.^[4] დ. ჰილბერტის მსგავსად, ა. მოშკოვსკი ამტკიცებს, რომ „ახალი კოსმოლოგიის საუკეთესო დადასტურებაა ის, რომ კოსმოსიდან გაქრა შიშველი და მხდალი უსასრულო, რათა ჩაანაცვლოს  სასრულმა, რომელიც თავის თავში ნამდვილად ატარებს განუსაზღვრელობის ნიშნებს“.^[5]

მაგრამ უსასრულობის უარყოფა იმის საფუძველზე, რომ მას ჩვენ ბუნებაში „ვერსად ვერ ვპოულობთ“, ლოგიკურად გაუმართლებელია. აქედან მხოლოდ იმას ვასკვნით, როგორც ამის შესახებ ს. წერეთელმა მიუთითა, რომ „უსასრულობის სასრულოდ ნახვა არ შეიძლება“,^[6] ე. ი. შეუძლებელია უსასრულობის პოვნა სასრულის სახით; ყოველი კონკრეტული საგანი, ყოველი „რაღაც“ სასრულია.

ზოგჯერ უსასრულოს ვუწოდებთ „ძალიან დიდს“ ან „ძალიან მცირეს“, რასაც ჩვენი პრაქტიკული მიზნებისთვის არსებითად უსასრულობის მნიშვნელობა აქვს. მაგ., ჩვეულებრივი ცნობიერებისათვის ჩვენი გალაქტიკა უსასრულობაა, თუმცა იგი სინამდვილეში ასეთი არ არის; ასევე, ატომური ფიზიკის მასშტაბების თვალსაზრისით, ბავშვის სათამაშო ბურთი უსასრულოდ დიდია და ა.შ. ამგვარ უსასრულობას პრაქტიკული უსასრულობა ეწოდება; მაგრამ უსასრულობის პრობლემასთან დაკავშირებით სასრულისა და უსასრულოს ცნებების ქვეშ თავისთავად სასრული ან უსასრულო იგულისხმება.

რამდენადაც დასასრული (დასაწყისთან ერთად) და საზღვარი ერთი და იგივეა, ამდენად სასრულობა და განსაზღვრულობა, ერთი მხრივ, ხოლო უსასრულობა და განუსაზღვრელობა (უსაზღვროება), მეორე მხრივ, სინონიმური ცნებებია. მართალია, ბევრი მოაზროვნე (მათ შორის აინშტაინიც) მათ ერთმანეთისგან განასხვავებს, მაგრამ თუ დასასრულისა და საზღვრის ცნებების ტოლფას მნიშვნელობას დავუშვებთ (ე.ი. თუ დასაწყისი არის საზღვარი და პირიქით), მაშინ „უ-სასრულობასა“ და „უ-საზღვროებას“ („გან-უ-საზღვრელობას“) ერთი და იგივე შინაარსი უნდა ჰქონდეთ. თუ სამყარო, როგორც აინშტაინი ამტკიცებს, განუსაზღვრელია (ე.ი. მას არა აქვს სივრცეში საზღვარი, ანუ სამყაროს გარეთ არაფერი არ არსებობს), მაშინ მას არაფერი არ ასრულებს, არ აბოლოებს, მას არა აქვს დასასრული, ე.ი. უსასრულოა. ამ აზრით უსასრულობა და განუსაზღვრელობა, ანუ უსაზღვროება, ერთმანეთისაგან არ განსხვავდება.

ამოდიოდა რა იქიდან, რომ უსასრულობას არა აქვს დასასრული, ე.ი. დაუსრულებელია, არისტოტელე უარყოფდა მისი შემეცნების შესაძლებლობას. დასასრული, არისტოტელეს მიხედვით, გარკვეული აზრით, ფორმაა, ფორმა კი შემეცნების პრინციპია. რამდენადაც უსასრულობას არა აქვს დასასრული, ამდენად მას არა აქვს არც ფორმა, ე.ი. არა აქვს განსაზღვრულობა, გარკვეულობა; სწორედ ამიტომ მისი შემეცნება შეუძლებელია.

ამ შემთხვევაში არისტოტელე, რასაკვირველია, სწორი არ არის. თუმცა ეს შეხედულება მაინც შეიცავს გარკვეულ „რაციონალურ მარცვალს“. კერძოდ, აქედან გამომდინარეობს თვისებრივი უსასრულობის ცნების უსაფუძვლობა. რაოდენობრივი და თვისებრივი სასრულობის არსებობა ეჭვს არ იწვევს, მაგრამ იმავეს ვერ ვიტყვით უსასრულობის შესახებ. თვისებრივი უსასრულობა, როგორც ასეთი, შეუძლებელია. თუ თვისებრივი უსასრულობის ქვეშ გავიგებთ ყველა (უსასრულო) თვისებათა ჯამს, მაშინ მას მაინც რაოდენობრივი (და არა თვისებრივი) ხასიათი ექნება. უსასრულო თვისებათა ჯამი ისევ რაოდენობრივი უსასრულობაა, ვინაიდან უსასრულობის ნიშანი ამ შემთხვევაში თვისებათა მხოლოდ ჯამს მიეწერება; ამრიგად, თვისებათა უსასრულო ჯამი არ შეიძლება თვისებრივ უსასრულობად ჩაითვალოს.

თვისებრივი უსასრულობის შესახებ ლაპარაკი შეუძლებელია იმ შემთხვევაშიც, თუ თვისებრიობის ქვეშ ვიგულისხმებთ იმას, რასაც ჩვეულებრივად გულისხმობენ (საგნის შინაგანი განსაზღვრულობა). ყოველ საგანს გარკვეული თვისებრიობა აქვს, რითაც იგი სხვა საგნებისგან განსხვავდება. სწორედ ამაში გამოიხატება მისი სასრულობა (კერძოდ, თვისებრივი სასრულობა). რაიმე საგნის თვისებრივი უსასრულობის მტკიცება მისი გაურკვევლობის და, მაშასადამე, შეუმეცნებადობის მტკიცებას ნიშნავს. თუ ერთი საგანი თვისებრივად (და რაოდენობრივად) მეორე საგნისგან არ განსხვავდება, მაშინ არავითარი გარკვეულობა და, მაშასადამე, შემეცნების არავითარი შესაძლებლობა არ იარსებებს. არისტოტელე მართალი იყო, როდესაც მან შემეცნების შესაძლებლობა შესამეცნებელი ობიექტის თვისებრივ სასრულობას დაუკავშირა.

და, ბოლოს, თუ თვისებრივი უსასრულობის ქვეშ ვიგულისხმებთ ერთი თვისებრივად სასრულის მეორე თვისებრივად სასრულთან კავშირს (უარყოფის საშუალებით, ვინაიდან უარყოფა, გარკვეული აზრით, დადგენაცაა), მაშინაც მხოლოდ და მხოლოდ რაოდენობრივი უსასრულობა (ე.წ. „უსასრულო რიგი“) მიიღება; სასრული ობიექტების უსასრულო კავშირი („გადასვლა“) რაოდენობრივი უსასრულობაა.

ამრიგად, თვისებრივი უსასრულობა შეუძლებელია; ბუნებაში არ არის და არც შეიძლება იყოს თვისებრივად უსასრულო საგნები.

მაგრამ ისმება კითხვა, შესაძლებელია თუ არა, ან როგორ არის შესაძლებელი რაოდენობრივი უსასრულობა?

§2. რაოდენობრივი უსასრულობა

ზოგიერთი მკვლევარი უსასრულობის არსებობის ერთადერთ ფორმად რაოდენობრივ უსასრულობას თვლის. მაგალითად, ბ. ბოლცანო აკრიტიკებს თვისებრივი უსასრულობის თვალსაზრისს და ამტკიცებს, რომ „უსასრულობა  მხოლოდ რაოდენობის თვისებაა“.^[7] თვისებრივი უსასრულობის ქვეშ, ამტკიცებს იგი, ხშირად რაოდენობრივი უსასრულობა ესმით, რაც თვისებრივი უსასრულობის ილუზიას ქმნის.^[8]

ბოლცანო მხოლოდ და მხოლოდ რაოდენობრივი უსასრულობის არსებობას აღიარებს. მართლაც, თუ არსებობს უსასრულობა, მაშინ იგი, უპირველესად, რაოდენობრივი უნდა იყოს. კიდევ მეტი, ვინაიდან თვისებრივი უსასრულობის არსებობა შეუძლებელია, ამიტომ ისეთი შთაბეჭდილება იქმნება, რომ თითქოს უსასრულობის ერთადერთ ფორმას რაოდენობრივი უსასრულობა წარმოადგენს.

არსებობს რაოდენობრივი უსასრულობის სხვადასხვა სახე; ერთ-ერთი ასეთი სახეა პოტენციალური და აქტუალური უსასრულობა. აქტუალური უსასრულობის ქვეშ ერთდროულად არსებულ ობიექტთა რიცხობრივი უსასრულობა იგულისხმება. აქტუალური უსასრულობა მთლიანი, ერთხელ და სამუდამოდ მოცემული უსასრულობაა, ამიტომ მოძრაობა და ცვალებადობა მის არსებას არ შეადგენს. პოტენციალური უსასრულობა კი, აქტუალურისგან განსხვავებით, სასრულის უსასრულო მოხსნაში გამოიხატება; იგი არის უსასრულო ცვალებადობის – შემცირების ან გადიდების – შესაძლებლობა. უსასრულობა, ამ შემთხვევაში, არასოდეს არ ხორციელდება – არ მიიღწევა. უსასრულობის მიღწევა მისი დასრულება და, მაშასადამე, სასრულად გადაქცევა იქნებოდა. პოტენციალური უსასრულობა უსასრულო ჯერარსია, სასრულის (საზღვრის) უსასრულო მოხსნაა, უსასრულობისაკენ უსასრულო მისწრაფებაა. ამგვარი უსასრულობა უსასრულო ცვალებადობის, უსასრულობისაკენ უსასრულო მისწრაფების ფორმით ვლინდება. იგი ამით განსხვავდება აქტუალური უსასრულობისაგან.

აქტუალური და პოტენციალური უსასრულობის ამ ზოგადი დახასიათებიდან ჩანს, რომ აქტუალური უსასრულობა დადებითობით ხასიათდება; იგი არის აქტუალური, ე.ი. რეალურად არსებული უსასრულობა; ეს ნიშნავს, რომ უსასრულობა განხორციელებულია. პოტენციალური უსასრულობა კი, პირიქით, უარყოფითობით ხასიათდება. ამის ქვეშ ის იგულისხმება, რომ პოტენციალური უსასრულობის არსებას სასრულის უსასრულო უარყოფა წარმოადგენს. პოტენციალური უსასრულობის ცნება უარყოფს უსასრულობის რეალურად არსებობას და უსასრულობისკენ უსასრულო მისწრაფებაში გამოიხატება; უსასრულობა მხოლოდ პოტენციაშია, შესაძლებლობაშია და არა – სინამდვილეში; იგი ყოველთვის უნდა განხორციელდეს, მაგრამ სინამდვილეში არასოდეს არ ხორციელდება. ამრიგად, ეს ცნება უსასრულობას უარყოფითად ახასიათებს. სწორედ ამიტომ ითვლება პოტენციალური უსასრულობა უარყოფით უსასრულობად.

აქტუალური უსასრულობა, როგორც მთლიანი, ერთხელ და სამუდამოდ მოცემული, უცვლელია. პოტენციალური უსასრულობა კი, როგორც ჯერარსი, მარადიული მისწრაფება, მოძრაობისა და ცვალებადობის გარეშე შეუძლებელია; უსასრულობა ამ შემთხვევაში უსასრულო (მარადიულ) ქმნადობაში გამოიხატება.

არც პოტენციალური და არც აქტუალური უსასრულობა არ შეიძლება რეალურ უსასრულობად ჩაითვალოს; ორივე მათგანი აბსტრაქციებია, თუმცა ისინი ძალიან საჭირო და აუცილებელიც კია მათემატიკისთვის; უსასრულობის ცნების გარეშე არ იარსებებდა არც დიფერენციალური და ინტეგრალური აღრიცხვა, არც სიმრავლის თეორია და არც მათემატიკის მრავალი სხვა დარგი. მიუხედავად ამისა, მათემატიკური უსასრულობა, ისევე როგორც თვითონ მათემატიკა, აბსტრაქტული აზროვნების შედეგია.

ერთი ნაწილი იმ მკვლევრებისა, რომლებიც რაოდენობრივი უსასრულობის არსებობას უშვებენ, მხოლოდ და მხოლოდ აქტუალური უსასრულობის არსებობას აღიარებს, მეორე ნაწილი კი – მხოლოდ პოტენციალურ უსასრულობას. დავას აქტუალური და პოტენციალური უსასრულობის დამცველებს შორის დიდი ხნის ისტორია აქვს; იგი ჯერ კიდევ ანტიკური ფილოსოფიიდან იწყება და დღემდე გრძელდება.

უსასრულობის ცნება პირველად ანაქსიმანდრესთან გვხვდება, რომელმაც სამყაროს პირველსაწყისად („არხე“) აპეირონი (უსაზღვრო) გამოაცხადა. მაგრამ აქტუალური უსასრულობის თვალსაზრისი ასე თუ ისე დასრულებული სახით ანაქსაგორას ფილოსოფიაშია. ანაქსაგორას მიხედვით, სამყარო უსასრულო რიცხვის ნაწილაკებისგან – „ჰომეომერიებისგან“ – შედგება. ეს ნაწილაკები არა მხოლოდ თვითონ არიან უსასრულო აქტუალური უსასრულობის აზრით (ისინი უსასრულოდ ბევრია), არამედ ყოველ მათგანში მზა სახით, ე.ი. აქტუალურად, არის სამყაროს მთელი თვისებრივი მრავალფეროვნება. „ყოველი ჰომეომერე, –  წერს ანაქსაგორა, – მთელის მსგავსად თავის თავში ყველა არსებულს მოიცავს, და არსებული არა მხოლოდ უსასრულოა, არამედ უსასრულოდ უსასრულო“.^[9] უდავოა, რომ ამ შემთხვევაში ანაქსაგორა აქტუალურ უსასრულობას გულისხმობს, თუმცა ეს ცნება მას ჯერ კიდევ არა აქვს.

ზოგიერთი მკვლევრის აზრით, ანაქსაგორა პოტენციალური უსასრულობის თვალსაზრისზე იდგა, ვინაიდან იგი სასრულ ნივთებს უსასრულოდ დაყოფადად თვლიდა.^[10] მართლაც, ანაქსაგორა ამბობს, რომ „მცირეშიც ხომ არ არის უმცირესი, არამედ ყოველთვის არის უფრო მცირე; ვინაიდან არსი არ შეიძლება გადავიდეს არარსში. დიდის მიმართაც არის უფრო დიდი და იგი რაოდენობის მიხედვით მცირეს ტოლია. ყოველი ნივთი თავისთავად დიდიც არის და მცირეც“.^[11] აქ, მართლაც, პოტენციალური უსასრულობის თვალსაზრისია გამოთქმული; მაგრამ აქედან სრულიადაც არ გამომდინარეობს აქტუალური უსასრულობის ცნების უარყოფა. სამყარო, ანაქსიმანდრეს აზრით, უსასრულო რიცხვის ნაწილაკებისგან – თვისებრივი ატომებისგან – შედგება. თითოეულ ნაწილაკში კი აქტუალურად მოცემულია სამყაროს თვისებათა უსასრულო მრავალფეროვნება. მაგრამ, მეორე მხრივ, სწორედ იმიტომ, რომ თითოეულ საგანში აქტუალურად არის სინამდვილის უსასრულო მრავალფეროვნება, ეს საგანი უსასრულოდ დაყოფადია, ხოლო დაყოფის შედეგად უმცირესი არასოდეს არ მიიღება; ეს ნიშნავს, რომ თითოეული საგანი უსასრულო დაყოფის შესაძლებლობას შეიცავს, ანუ დაყოფის თვალსაზრისით პოტენციალური უსასრულობაა. როგორც ვხედავთ, ანაქსაგორას ფილოსოფიაში მოცემულია როგორც აქტუალური, ასევე პოტენციალური უსასრულობის თვალსაზრისი; აქ ჯერ კიდევ არა გვაქვს ამ ორი სახის უსასრულობის ერთმანეთთან დაპირისპირება, რაც შემდგომი ეპოქის მოაზროვნეებისთვის (განსაკუთრებით არისტოტელეს დროიდან დაწყებული) არის დამახასიათებელი. პოტენციალური და აქტუალური უსასრულობის თვალსაზრისების თავსებადობა ანაქსაგორას ფილოსოფიაში შეიძლება იმითაც აიხსნას, რომ იმ დროს უსასრულობის პრობლემა ჯერ კიდევ არ იყო საკმაოდ დამუშავებული.

აქტუალური უსასრულობის თვალსაზრისს იზიარებდნენ ელეატური სკოლის ფილოსოფოსები (განსაკუთრებით პარმენიდე და მელისო), ატომისტები და სხვ. ატომების რიცხვი ლევკიპე-დემოკრიტეს ატომისტურ სისტემაში, ისევე როგორც პარმენიდე-მელისოს არსის უსასრულობა, აქტუალური უსასრულობაა. მეორე მხრივ, ატომისტები აღიარებდნენ სიცარიელეს, როგოროც ატომების (არსის) არსებობისა და მოძრაობის აუცილებელ პირობას; სიცარიელეს (ცარიელ სივრცეს) კი ისინი აქტუალურ უსასრულობად მიიჩნევდნენ, ვინაიდან აქტუალურად არსებობენ ატომები, რომელთაც სხვაგვარად არ შეუძლიათ არსებობა, თუ არა ცარიელ სივრცეში. ამასთანავე, ვინაიდან ატომების რიცხვი უსასრულოა, უსასრულო უნდა იყოს ისიც, რაშიც ატომები იმყოფებიან. ამას ემყარება ცარიელი სივრცის, ანუ, დემოკრიტეს ტერმინით რომ თქვათ, „დიდი სიცარიელის“ უსასრულობა; აქტუალურად არსებული უსასრულო რიცხვის ატომები, ცხადია, სასრულ სივრცეში ვერ მოთავსდებიან. ამრიგად, როგორც ატომები, ასევე „დიდი სიცარიელე“ ატომისტიკაში გაგებულია, როგორც აქტუალური უსასრულობა.

აქტუალური უსასრულობის არსებობას აღიარებენ ავგუსტინე, ერიუგენა და შუა საუკუნეების ბევრი სხვა მოაზროვნე, რომლებიც ამ ცნებას ღმერთის ბუნების დასახასიათებლად იყენებდნენ.

ჯ. ბრუნომ აქტუალური უსასრულობის ნიშანი სამყაროს მიაწერა, რომლის ქვეშ მას სამყაროს სივრცეში (ექსტენსიური) უსასრულობა ესმოდა. ამგვარ უსასრულობად მიიჩნევს სპინოზა სხეულებრივ სუბსტანციებს. აქტუალური უსასრულობის თვალსაზრისს ვხვდებით კანტის ანტინომიებში და სხვ.

ახალ დროში აქტუალური უსასრულობის ცნება მათემატიკაში შეიჭრა და მის ერთ-ერთ ფუნდამენტურ ცნებად გადაიქცა. კანტორი, ფრეგე, დედეკინდი და ბევრი სხვა გამოჩენილი მათემატიკოსი აქტუალური უსასრულობის არსებობას აღიარებდა. მათ შორის განსაკუთრებული მნიშვნელობა ჰქონდა კანტორის მოძღვრებას უსასრულობის შესახებ, რომელმაც მათემატიკის განვითარებას დიდი შესაძლებლობები გადაუშალა.

მაგრამ მკვლევართა მეორე ჯგუფი აქტუალური უსასრულობის არსებობას უარყოფს და მხოლოდ და მხოლოდ პოტენციალური უსასრულობის არსებობას აღიარებს. ამ მოაზროვნეთა შორისაა არისტოტელე, კანტი, პუანკარე და სხვ.

პოტენციალური უსასრულობის თვალსაზრისი ჯერ კიდევ ჰერაკლიტეს ფილოსოფიაში გვხვდება; როდესაც ჰერაკლიტე უსასრულო ქმნადობის (მოძრაობა-ცვალებადობის) შესახებ ლაპარაკობს, მაშინ იგი უთუოდ პოტენციალურ უსასრულობას გულისხმობს. ამავე სახის უსასრულობის არსებობა იგულისხმება ევკლიდეს გეომეტრიაშიც, კერძოდ, მეხუთე პოსტულატში, რომელიც პარალელურ სწორებს ეხება.

მაგრამ პოტენციალური უსასრულობის თვალსაზრისი პირველად მაინც არისტოტელემ ჩამოაყალიბა. უსასრულობა, არისტოტელეს მიხედვით, უფორმო და გაურკვეველია, ამიტომ იგი არ შეიმეცნება (შემეცნების პრინციპი ფორმაა).^[12] რეალური საგნები და მოვლენები ფორმისა და მატერიის ერთიანობაა, ე. ი. ისინი სასრულია, ხოლო უსასრულო (უფორმო, გაურკვეველი) ობიექტები ბუნებაში არ არსებობენ. ამის საფუძველზე არისტოტელე აქტუალური უსასრულობის არსებობას უარყოფდა; უსასრულობა, მისი აზრით, მხოლოდ პოტენციალური შეიძლება იყოს. „სიდიდე, — წერს არისტოტელე, – არ შეიძლება აქტუალურად უსასრულო იყოს… ამრიგად, რჩება უსასრულო პოტენციაში“.^[13] არისტოტელე საყვედურობდა ძენონს, რომ მან აქტუალური და პოტენციალური უსასრულობა ერთმანეთისაგან ვერ გაარჩია; თვითონ კი მათ ერთმანეთისაგან მტკიცედ განასხვავებს, კერძოდ, პოტენციალურ უსასრულობას ერთადერთ უსასრულობად მიიჩნევს.

მაგრამ პოტენციალური უსასრულობის ქვეშ არისტოტელე არ გულისხმობს იმას, რაც მას შესაძლებლობისა და სინამდვილის ურთიერთობის ქვეშ ესმის. შესაძლებლობა, არისტოტელეს მოძღვრების თანახმად, განხორციელების შედეგად სინამდვილედ გადაიქცევა. მარმარილოს ლოდი ქანდაკების შესაძლებლობას შეიცავს; ამ შესაძლებლობის განხორციელება კი სინამდვილეს გვაძლევს. მაგრამ პოტენციალური უსასრულობა აქტუალურ უსასრულობად როდი გადაიქცევა. პოტენციალური უსასრულობა ყოველთვის სასრულთა უსასრულო ცვალებადობაა და არასოდეს აქტუალურ უსასრულობად არ იქცევა.

ამასთანავე, აქტუალური უსასრულობის უარყოფა არისტოტელეს ფილოსოფიაში მიმართულია გრძნობადი სამყაროს სივრცობრივი უსასრულობის წინააღმდეგ, ვინაიდან აქტუალური უსასრულობის ქვეშ არისტოტელეს სივრცის უსასრულობა ესმის. სამყარო, არისტოტელეს მიხედვით, სივრცეში სასრულია, დაბოლოებულია. თვითონ მსოფლიო ცენტრის იდეა, რომელსაც არისტოტელე იცავდა, სამყაროს სასრულობაზე მიუთითებს.

კანტი, არისტოტელეს მსგავსად, მხოლოდ და მხოლოდ პოტენციალური უსასრულობის არსებობას აღიარებს. ამავე თვალსაზრისს იცავდა პუანკარე, რომელიც აქტუალური უსასრულობის თვალსაზრისს მკაცრად აკრიტიკებდა. „არ არსებობს აქტუალური უსასრულობა, — წერდა იგი. – კანტორის მიმდევრებმა ეს დაივიწყეს და წინააღმდეგობაში ჩაცვივდნენ“.^[14]

პოტენციალურ და აქტუალურ უსასრულობასთან მჭიდროდაა დაკავშირებული სივრცისა და დროის უსასრულობა. სივრცის უსასრულობა ძირითადად აქტუალური უსასრულობაა, თუმცა იგი პოტენციალურიც შეიძლება იყოს (მაგ., სწორი ხაზი შეიძლება უსასრულოდ გავაგრძელოთ). დროის უსასრულობა უნდა გავიგოთ, ერთი მხრივ, როგორც „დროში უსასრულოდ არსებობა”, ხოლო, მეორე მხრივ, როგორც დროის მიხედვით უსასრულობა (განსხვავებით სივრცითი უსასრულობისაგან). დროში უსასრულოდ არსებობა უსასრულო მოძრაობა და ცვალებადობაა, ვინაიდან დროის არსება არის მოძრაობა (ვ. ი. ლენინი). ამდენად, დროის უსასრულობას მიმდინარეობის ხასიათი აქვს; ამგვარი უსასრულობა, ცხადია, პოტენციალურ უსასრულობაა.

მაგრამ დროის უსასრულობის მეორე ფორმა (ე.წ. „დროის მიხედვით უსასრულობა“) მარადიულობას ნიშნავს. დროის ჭეშმარიტი უსასრულობა სწორედ მარადიულობაა, ვინაიდან იგი არ არის დროში არსებობასთან, ე.ი. მოძრაობასა და ცვალებადობასთან დაკავშირებული. მარადიულობა, როგორც უძრავი, უცვლელი უსასრულობა, აქტუალური უსასრულობაა. ამრიგად, სივრცისა და დროის (მარადიულობის აზრით) უსასრულობა აქტუალური უსასრულობაა, ვინაიდან იგი პრინციპულად არ არის დაკავშირებული მოძრაობასა და ცვალებადობასთან, რაც პოტენციალური უსასრულობის არსებას შეადგენს. 

სივრცისა და დროის უსასრულობა სამყაროს უსასრულობას ნიშნავს, რაც ყოველთვის იყო და არის მკვლევართა აზრთა სხვადასხვაობისა და დიდი დავის საგანი. ამჟამად ეჭვს აღარ იწვევს ის გარემოება, რომ სამყაროს უსასრულობის პრობლემა მხოლოდ და მხოლოდ ბუნებისმეცნიერების მონაცემების საფუძველზე შეიძლება გადაწყდეს და არა სპეკულაციური გზით, როგორც ამას წარსული დროის ბევრი მოაზროვნე ფიქრობდა. კერძოდ, ამ პრობლემას ცენტრალური ადგილი უჭირავს თანამედროვე კოსმოლოგიურ თეორიებში.

სამყაროს უსასრულობის პრობლემას ორი მიმართულება აქვს: სივრცეში უსასრულობა და დროში უსასრულობა, ანუ, უფრო ზუსტად, სივრცის მიხედვით უსასრულობა და დროის მიხედვით უსასრულობა. მოკლედ შევეხებით ორივე მხარეს.

სამყაროს უსასრულობის პრობლემა საერთოდ და, კერძოდ, სივრცეში უსასრულობის პრობლემა თანამედროვე მეცნიერებაში დიდი სიძნელეების წინაშე დგას. ეს სიძნელეები ცნობილია კოსმოლოგიური პარადოქსების სახელწოდებით, რაც სამყაროს სასრულობა-უსასრულობის პრობლემის წინააღმდეგობრივ ხასიათზე მიუთითებს. ცნობილია ფოტომეტრული და გრავიტაციული კოსმოლოგიური პარადოქსები, რომლებიც მთელ სამყაროზე ფიზიკის კანონების გამოყენების შედეგად წარმოიშობა. ფოტომეტრულ პარადოქსს ზოგჯერ „ოლბერსის პარადოქსს“ უწოდებენ, ხოლო გრავიტაციულს – „ზეელიგერის პარადოქსს“.

ფოტომეტრული, ანუ ოლბერსის პარადოქსი, იქიდან ამოდის, რომ თუ სამყარო უსასრულოა და იგი უსასრულო რიცხვის ვარსკვლავებს შეიცავს, რომლებიც ყველგან თანაბრად განაწილებულია, ანუ რომელთა რიცხვი სივრცის მოცემულ მონაკვეთში ნულისაგან განსხვავდება, მაშინ ცის თაღი ისევე უნდა კაშკაშებდეს, როგროც, ვთქვათ, მზე. მაგრამ ფაქტია, რომ ეს ასე არ არის; ცის თაღი ღამით მილიონჯერ უფრო ნაკლებადაა განათებული, ვიდრე მზის დისკო; ამრიგად, იქნება პარადოქსული მდგომარეობა; თითქოს უდავო უნდა იყოს ცის თაღის სიკაშკაშე ვარსკვლავთა თანაბარი განაწილების პირობებში, მაგრამ ფაქტობრივი ვითარება სულ სხვა სურათს გვაძლევს.

ანალოგიურ სიძნელეებზე მიუთითებს გრავიტაციული, ანუ ზელინგერის პარადოქსი. თუ სამყაროში უსასრულო რიცხვის ვარსკვლავები არსებობს, მაშინ, ამ პარადოქსის მიხედვით, უსასრულოდ დიდი იქნება სხეულებზე მოქმედი მიზიდულობის ძალები. მართლაც, თუ სამყაროს ნებისმიერ ნაწილში ნიუტონის მიზიდულობის კანონი მოქმედებს და ამასთანავე ნივთიერების სიმკვრივე ნულისგან განსხვავდება, მაშინ მთელი მსოფლიოს გრავიტაციული პოტენციალი უსასრულო სიდიდისა იქნება. ამ შემთხვევაში კი ფიზიკურ სხეულებზე უსასრულო ძალები უნდა მოქმედებდნენ, რის შედეგად ეს სხეულები უსასრულო აჩქარების მდგომარეობაში უნდა იმყოფებოდნენ. მაგრამ ეს ასე არ არის, რაც პარადოქსულ ვითარებას იწვევს.

აღნიშნული პარადოქსების უარყოფა ბევრმა მოაზროვნემ სცადა, მაგრამ კიდევ უფრო დიდ სიძნელეებს წააწყდა. ერთ-ერთი მათგანია შვედი ასტრონომი – შარლიე. კოსმოლოგიური პარადოქსების დაძლევას იგი შეეცადა იმის საფუძველზე, რომ მატერიის საშუალო სიმკვრივე სამყაროში ნულის ტოლად წარმოადგინა. მაგრამ ამ გარემოებამ, თავის მხრივ, კიდევ უფრო დიდი სიძნელეები წარმოშვა, ვინაიდან ეს არსებითად მსოფლიოში მატერიის უარყოფას ნიშნავდა, ხოლო ამ შემთხვევაში კი სივრცის ცნებაც აზრს კარგავს. ცხადია, თუ სამყაროში მატერიის საშუალო სიმკვრივე ნულის ტოლია, მაშინ არავითარ სივრცეზე ლაპარაკი არ შეიძლება. ამრიგად, შარლიეს თეორია კოსმოლოგიურ პარადოქსებს ვერ ხსნის.

კოსმოლოგიური პარადოქსების დაძლევა აგრეთვე სხვა მკვლევრებმაც ცადეს. მაგ., ს. ტ. მელიუხინი ამ პარადოქსების დაძლევას ცდილობს ნივთიერებასთან ელექტრომაგნიტური და გრავიტაციული ველების ურთიერთქმედების საფუძველზე.^[15] ასევე, სხვა მკვლევართა ანალოგიური ცდების მიუხედავად, ეს პარადოქსები ჯერჯერობით მაინც გადაუჭრელია.

სამყაროს სივრცობრივი უსასრულობის საკითხი კიდევ უფრო მწვავედ დასვა სპირალურ ნისლეულთა სპექტრებში სპექტრულ ხაზთა გადაადგილების აღმოჩენამ, რომელიც „წითელი გადაადგილების“ სახელწოდებითა ცნობილი და რომლის მიზეზი ჯერ კიდევ უცნობია. 1842 წელს დოპლერმა აღმოაჩინა, რომ ტალღის სიხშირე დამოკიდებულია როგორც სინათლის წყაროს, ასევე დამკვირვებლის მოძრაობაზე. სინათლის ტალღების სიხშირე კი მის ფერს განსაზღვრავს: მცირე სიხშირის ტალღებს წითელი ფერი შეესაბამება, დიდი სიხშირისას კი – იისფერი. ამასთანავე, როდესაც სინათლის წყარო და დამკვირვებელი ერთმანეთს შორდებიან, მაშინ ტალღის სიხშირე მცირდება, რასაც წითელი ფერი შეესაბამება, ხოლო პირიქით, სინათლის წყაროსა და დამკვირვებლის ურთიერთმიახლოებისას ტალღის სიხშირე დიდდება, რასაც იისფერი შეესაბამება.

ასტრონომებმა შენიშნეს სპირალურ ნისლეულთა სპექტრებში სპექტრალურ ხაზთა გადაადგილება წითელი ბოლოსაკენ, რასაც „წითელი გადაადგილება“ ეწოდება. ეს ფაქტი თავისებურად ახსნა ჰაბლმა 1929 წელს და მანვე აღმოაჩინა გარკვეული კანონი, რომლის მიხედვით, გალაქტიკების დაშორების სიჩქარე მათი მანძილის პირდაპირპროპორციულად იზრდება. ამ აღმოჩენამ ბოლო მოუღო სტატიკურ შეხედულებას სამყაროზე; გაირკვა, რომ სპირალური ნისლეულები ჩვენს სისტემას ყველა მიმართულებით შორდება; ამასთანავე, რაც უფრო შორსაა ნისლეული, მით უფრო დიდი სისწრაფით გვშორდება.

სამყაროს სივრცობრივი უსასრულობის პრობლემის დამუშავებაში დიდი როლი აქვს საბჭოთა მათემატიკოსს ა. ა. ფრიდმანს, რომელმაც განავითარა რელატივისტური თვალსაზრისი სამყაროზე. 1922 წელს ა. ა. ფრიდმანმა შეიმუშავა თეორია, რომლის მიხედვით, სამყარო დროის მომენტის შესაბამისად განუწყვეტლად იცვლება. კერძოდ, ა. ა. ფრიდმანმა აჩვენა, რომ დროის გარკვეულ მომენტში სამყარო შეკუმშული იყო, რომელმაც შემდეგ გაფართოება დაიწყო და რაც ამჟამად გრძელდება; სამყაროს ამ მოდელს შეიძლება „ღია მოდელი“ ეწოდოს.

მაგრამ ა. ა. ფრიდმანმა კოსმოლოგიური ამოცანის მეორე გადაწყვეტაც აჩვენა; ამ უკანასკნელის მიხედვით, სამყაროს გაფართოება არ შეიძლება უსასრულოდ გაგრძელდეს. ოდესმე იგი შეჩერდება და დაიწყება შებრუნებული განვითარება – შეკუმშვა. ეს იქნება სამყაროს „დახურული მოდელი“.

სამყაროს უსასრულობის პრობლემა ფილოსოფიის ფარგლებს ცდება და მისი გადაწყვეტა მარტოოდენ ფილოსოფიის ბაზაზე, ცხადია, შეუძლებელია. ჩვენთვის ამჟამად მთავარია ის, რომ თანამედროვე მეცნიერული მონაცემები უშუალოდ სვამენ საკითხს სამყაროს უსასრულობის შესახებ და გარკვეულ გეგმებსაც კი სახავენ მის გადასაწყვეტად.

მეცნიერებაში აგრეთვე დავობენ სამყაროს დროში უსასრულობის შესახებ: ზოგიერთი იდეალისტი ცდილობს დაამტკიცოს სამყაროს დროში სასრულობა, მისი წარმოშობა. ინგლისელმა ასტრონომმა მილნმა კიდეც „გამოიანგარიშა“ სამყაროს ასაკი; ზოგიერთი მოაზროვნე ასეთ ასაკად 5000 მილიონ წელს ასახელებს, სხვები კი 5-10 მილიარდ წელს. მაგრამ ასაკის ხანგრძლივობას მნიშვნელობა არ აქვს; მთავარია ის, რომ ეს მოაზროვნეები ცდილობენ დაამტკიცონ სამყაროს დროში სასრულობა.

სამყაროს დროში სასრულობის თეორიათა რიცხვს მიეკუთვნება ე. წ. „სამყაროს სითბური სიკვდილის თეორია“, რომელიც ჯერ კიდევ XIX საუკუნის მეორე ნახევარში ტომსონმა და კლაუზიუსმა შეიმუშავეს და რომელსაც სხვადასხვა სახეცვლილებით იცავენ ედინგტონი, ჯინსი, უაიტეკერი და სხვები. ეს თეორია თითქოს თერმოდინამიკის მეორე კანონიდან ამოდის, რომელიც ამტკიცებს, რომ სითბო თავისთავად ყოველთვის გადადის მაღალი ტემპერატურის მქონე სხეულიდან დაბალი ტემპერატურის მქონე სხეულში. სხვაგვარად ეს ნიშნავს, რომ ენტროპია მიისწრაფვის მაქსიმუმისაკენ, ე. ი. სითბური ენერგიის გათანაბრებისაკენ. ეს იდეა ხშირად სამყაროზე გადააქვთ და ამტკიცებენ, რომ სამყაროში სითბური ენერგია თანდათან თანაბრდება, სითბო იფანტება, ე. ი. ენტროპია მიისწრაფვის მაქსიმუმისკენ. როდესაც ენტროპია მაქსიმუმს მიაღწევს, ე.ი. სითბური ენერგია მთლიანად გათანაბრდება, მაშინ სამყარო „მოკვდება“, ვინაიდან მას აღარ ექნება სითბური ენერგია; ეს იქნება სამყაროს „სითბური სიკვდილი“.

მაგრამ თანამედროვე მეცნიერება დაბეჯითებით უარყოფს სამყაროს სითბური სიკვდილის თვალსაზრისს და, ამის შესაბამისად, სამყაროს დროში სასრულობასაც. სამყაროს სითბური სიკვდილის თეორია ფ.ენგელსმა გააკრიტიკა მარქსისტული ფილოსოფიის პრინციპებზე დაყრდნობით.

სამყაროს უსასრულობის პრობლემის თავისებური გადაწყვეტა გვხვდება აინშტაინის რელატიურობის ზოგად თეორიაში, რომელიც ემყარება არაევკლიდური გეომეტრიის მოძღვრებას სივრცის შესახებ. კერძოდ,  აინშტაინი მიიჩნევს, რომ სამყარო სასრულია, მაგრამ განუსაზღვრელია (უსაზღვროა). მსოფლიო სივრცე მრუდია, ამიტომ სამყარო ჩაკეტილი და სფეროსებურია. რამდენადაც სამყარო ჩაკეტილია, ამდენად სასრულია, მაგრამ რამდენადაც მის გარეთ არაფერი არ არის, ამდენად იგი განუსაზღვრელია, უსაზღვროა. ცხადია, რომ აინშტაინი ამ შემთხვევაში „დასასრულსა“ და „საზღვარს“ ერთმანეთისგან განასხვავებს. აქედან კი გამომდინარეობს უსასრულობისა და განუსაზღვრელობის (ანუ უსაზღვროების) ერთმანეთისგან განსხვავება. როგორც ჩანს, აინშტაინს უსასრულობა წარმოედგინა, როგორც progressus in infinitum, ე.ი. როგორც სწორხაზობრივი წესრიგი, ხოლო წრიული უსასრულობის შესაძლებლობას გამორიცხავდა.

ზემოთ აღვნიშნეთ, რომ სამყაროში არ არსებობს თვისებრივად და რაოდენობრივად უსასრულო საგნები, მაგრამ თვითონ სამყარო კი, მატერიალისტური მსოფლმხედველობის მიხედვით, უსასრულოა. სხვაგვარად რომ ვთქვათ, სამყაროში არ არსებობს აქტუალური უსასრულობა, მაგრამ თვითონ სამყარო კი აქტუალურად უსასრულოა. ეს ორი ერთმანეთს არ გამორიცხავს. ამასთანავე, სამყაროს უსასრულობა მის განუსაზღვრელობას (უსაზღვროებას) ნიშნავს. თუმცა ეს სამყარო (აინშტაინის თანახმად) შეიძლება სფეროსებური იყოს.

უსასრულობის განსაკუთრებული ფორმაა სიფართითა და სიღრმით უსასრულობა (бесконечность вширь и вглубь), რომელიც ექსტენსიური და ინტენსიური უსასრულობაა. სიფართითა (ექსტენსიური) და სიღრმით (ინტენსიური) უსასრულობა შეიძლება იყოს როგორც პოტენციალური, ასევე აქტუალური. ძენონის თითქმის ყველა აპორია მოძრაობის შესაძლებლობის წინააღმდეგ ინტენსიური აქტუალური უსასრულობის დაშვებას ემყარება; არისტოტელე კი, პირიქით, ძენონის მოძღვრების კრიტიკისას ინტენსიური აქტუალური უსასრულობის შეუძლებლობიდან ამოდიოდა. 

ექსტენსიური უსასრულობის თვალსაზრისი ჯერ კიდევ არხიტ ტარენტელის (პითაგორელი ფილოსოფოსი) მსოფლმხედველობაში გვხვდება. კერძოდ, არხიტი სამყაროს სივრცობრივი (ექსტენსიური) უსასრულობის იდეას იცავდა. ამ აზრს ბევრი ფილოსოფოსი იზიარებდა როგორც ძველად, ისე ახალ  დროში.

ადვილი შესამჩნევია, რომ ექსტენსიური უსასრულობის ქვეშ არსებითად სივრცობრივი განუსაზღვრელობა იგულისხმება, რაც უსასრულობის ცნებას სრულიადაც არ ემთხვევა. ყოველ შემთხვევაში, სამყაროს მიმართ უსასრულობისა და განუსაზღვრელობის ცნებები სხვადასხვა შინაარსის მქონეა, რის შესახებ ჯერ კიდევ ბ. რიმანმა მიუთითა. რიმანი განუსაზღვრელობას განფენილობის თვისებად თვლიდა, ხოლო უსასრულობას – მეტრიკულ თვისებად. მსოფლიო სივრცე, მისი აზრით, მრუდი და ჩაკეტილია, ე.ი. სასრულია, თუმცა იგი ექსტენსიურად განუსაზღვრელია.^[16] ეს თვალსაზრისი კიდევ უფრო განვითარდა აინშტაინის რელატიურობის თეორიაში, რომელშიც ექსტენსიური უსასრულობის (განუსაზღვრელობის) ცნება უსასრულობის, როგორც მეტრიკული თვისებისაგან, განსხვავებულია.

ინტენსიური (სიღრმით) უსასრულობა ნივთიერებისა და ენერგიის წყვეტადობა-უწყვეტობის გამოხატულებაა. ტრადიციულად ინტენსიური უსასრულობის ქვეშ ნივთიერების (ან სივრცის) უსასრულოდ დაყოფის შესაძლებლობა ესმოდათ, მაგრამ თანამედროვე მეცნიერებაში იგი მატერიალური ობიექტების რაოდენობრივ და თვისებრივ მრავალგვარობას ნიშნავს. მაგალითად, როდესაც ლაპარაკობენ ელექტრონის „ამოუწურავობის“, მისი უსასრულობის შესახებ, მაშინ გულისხმობენ ელექტრონის არა შემდგომი დაყოფის შესაძლებლობას (სტრუქტურულ დაშლას), არამედ იმას, რომ ელექტრონს ურთიერთდაპირისპირებული (ტალღურ-კორპუსკულური) თვისებები აქვს და, მაშასადამე, იგი ამოუწურავია. ამრიგად, ინტენსიური უსასრულობის ქვეშ ამ შემთხვევაში სტრუქტურული უსასრულობა არ იგულისხმება.

უსასრულობის კლასიფიკაცია ინტენსიურად და ექსტენსიურად, ცხადია, პირობითია. სინამდვილეში უსასრულობა ერთია; მოჩვენებით განსხვავებას ის ქმნის, რომ ამ შემთხვევაში უსასრულობას სხვადასხვა მიმართულებით განვიხილავთ. თვითონ სახელწოდებანიც „სიფართით“ და „სიღრმით“ უსასრულობაც სწორედ ამ გარემოებაზე მიუთითებს. მაგრამ უსასრულობა უსასრულობაა მიუხედავად მისი მიმართულებისა.

მათემატიკური ანალიზი განიხილავს უსასრულობის კიდევ ერთ ფორმას – უსასრულოდ დიდსა და უსასრულოდ მცირეს. უსასრულოდ დიდი მათემატიკურ ანალიზში მოწესრიგებულ ცვლად სიდიდეებს ეწოდება, რომლებიც ცვალებადობისას ყოველთვის მეტია ნებისმიერად აღებულ დიდ რიცხვებზე. ამის შესაბამისად განისაზღვრება უსასრულოდ მცირე სიდიდეებიც.

უსასრულოდ დიდისა და უსასრულოდ მცირეს ერთ-ერთი არსებითი ნიშანი ისაა, რომ ისინი მიმდინარეობებია – მუდმივ ცვალებადობაში განიხილებიან. ამასთან დაკავშირებით ა. ი. ხინჩინი წერს: „ტერმინი „უსასრულოდ მცირე“, თავისი განსაზღვრების მიხედვით, აღწერს სიდიდის არა ზომებს, არამედ მისი ცვლილების ხასიათს. რასაკვირველია, უფრო სწორი იქნებოდა, რომ ამგვარ სიდიდეს ვუწოდოთ არა „უსასრულოდ მცირე“, არამედ უსასრულოდ კლებადი“.^[17] მართლაც, ამ ცნებების ქვეშ მათემატიკურ ანალიზში იგულისხმება სიდიდის უსასრულო შემცირება ან გაზრდა. ამასთანავე, უსასრულოდ დიდის ცვალებადობა უსაზღვროა („უზღვროა“); სწორედ ამიტომ ზღვარი პირობითად შემოაქვთ დადებითი ან უარყოფითი ნიშნით (+∞, -∞). ნიშანს ∞ თავისთავად არავითარი მათემატიკური საზრისი არა აქვს. იგი მხოლოდ იმას აღნიშნავს, რომ უსასრულოდ დიდი არსებითად სიდიდის უსაზღვროდ ზრდაა.

ზემოთქმულიდან გამომდინარეობს, რომ მათემატიკურ ანალიზში უსასრულოდ დიდი და უსასრულოდ მცირე გაგებულია, როგორც პოტენციალური უსასრულობის განსაკუთრებული სახეები. ცვალებადობა, ქმნადობა სწორედ პოტენციალური უსასრულობის დამახასიათებელი ნიშნებია.

ახლა განვიხილოთ მათემატიკური უსასრულობის კიდევ ერთი სახე, რომელიც აქტუალურ უსასრულობასთან არის დაკავშირებული და სიმრავლის თეორიაში მოიხმარება. მხედველობაში გვაქვს კანტორის მოძღვრება ტრანსფინიტურ რიცხვებზე.

სიმრავლის თეორიის ფუძემდებელია გ. კანტორი, რომელმაც შემოიტანა აქტუალური უსასრულობის ახალი ცნება – ტრანსფინიტური რიცხვის ცნება.

კანტორი ერთმანეთისაგან განასხვავებს სამგვარ უსასრულობას: 1. აბსოლუტური უსასრულობა, ანუ საერთოდ აბსოლუტი; 2. აქტუალური უსასრულობა, ანუ ტრანსფინიტური, ე. ი. ისეთი უსასრულობა, რომელიც განსხვავდება არა მხოლოდ აბსოლუტური უსასრულობისაგან, არამედ სასრულისაგანაც. იგი, როგორც ზესასრული, სასრულის იქით ძევს, მაგრამ აბსოლუტურ უსასრულობას მაინც არ წარმოადგენს; 3. ინდეფინიტური, ე. ი. პოტენციალური უსასრულობა. სიმრავლის თეორიისათვის ტრანსფინიტურის ცნებას განსაკუთრებული მნიშვნელობა აქვს. ეს ნიშნავს, რომ აქტუალური უსასრულობის ცნება კანტორის სიმრავლის თეორიის ამოსავალია. სიმრავლის უსასრულობა, მისი აზრით, უნდა გავიგოთ, როგორც აქტუალური უსასრულობა.

აქტუალური უსასრულობის ქვეშ კანტორს ესმის „ისეთი რაოდენობა, რომელიც, ერთი მხრივ, არ არის ცვალებადი, არამედ გარკვეული და უცვლელია ყველა თავის ნაწილში და ჭეშმარიტ მუდმივ სიდიდეს წარმოადგენს, ხოლო, მეორე მხრივ, იმავე დროს თავისი სიდიდის მიხედვით იმავე გვარის ყოველ სასრულ სიდიდეს აღემატება“.^[18]

ტრანსფინიტური რიცხვის ცნება ასე შემოაქვთ: ყველა ნატურალურ რიცხვი სიმრავლეს შეიძლება მივაწეროთ რიგობრივი რიცხვი ω, რომელიც ნებისმიერ სასრულ რიცხვზე მეტია და პირველ, უმცირეს ტრანსფინიტურ რიცხვს წარმოადგენს. როდესაც ვითვლით: 1, 2, 3, 4, 5, … მაშინ დათვლილი საგნები შეიძლება განვიხილოთ, როგორც დასრულებული უსასრულო სიმრავლე გარკვეული რიგის მიხედვით. ამ რიგს კანტორი აღნიშნავს ω-ით. უმცირესი ტრანსფინიტური რიცხვის შემოტანის შემდეგ თვლა შეიძლება განვაგრძოთ ω+1, ω+2, ω+3, …. ω+ω ან ω*2 საშუალებით. შემდეგ შეიძლება კვლავ განვაგრძოთ თვლა ამ წესით: ω*2+1, ω*2+2, ω*2+3,… ω*2+ω = ω*3; ამის შემდეგ შეიძლება ახალი რიგობრივი რიცხვების შემოტანა:  ω*2, ω*3, ω*4, … ω*ω= ω². შემდეგ კი მიიღება ω²+1 და ა. შ. ამრიგად მივიღეთ საფუხუროვანი უსასრულო რიცხვი ω ტრანსფინიტური რიცხვის სახით.

უფრო გვიან შეიქმნა სიმრავლის თეორიის სხვადასხვა პარადოქსი (კანტორისა, ბურალი-ფორტისა, რასელ-ცერმელოსი და ა. შ.). ამ პარადოქსებმა ცხადყვეს აქტუალური უსასრულობის თეორიის ნაკლოვანებანი. კერძოდ, დადგინდა, რომ მათემატიკაში აქტუალური უსასრულობის ცნების შემოტანას გარკვეული საზღვრები აქვს.

მათემატიკური უსასრულობა ბუნებაში, ცხადია, არ არსებობს; იგი, ისევე როგორც მათემატიკის სხვა ობიექტები, აბსტრაქციის შედეგია. მაგრამ მათემატიკური უსასრულობა ობიექტური სინამდვილის ასახვაა და, მაშასადამე, მატერიალური სინამდვილისგან წარმოდგება. „მათემატიკური უსასრულო, – წერს ფ. ენგელსი, – გადაღებულია სინამდვილიდან, თუმცა არაცნობიერად და ამიტომ იგი შეიძლება მხოლოდ სინამდვილიდან და არა თავისი თავიდან, არა მათემატიკური აბსტრაქციიდან აიხსნას“.^[19]

ასეთ აბსტრაქციას მათემატიკისათვის, რასაკვირველია, არსებითი მნიშვნელობა აქვს; მათემატიკური უსასრულობა ფუნდამენტურ როლს თამაშობს მათემატიკის სხვადასხვა დარგის განვითარებაში.

ზემოთქმულიდან გამომდინარეობს, რომ რაოდენობრივი უსასრულობის ცნება, თვისებრივისაგან განსხვავებით, სრულიად კანონიერია და ის მეცნიერებაში, სახელდობრ, მათემატიკაში დიდად გამოიყენება.

მაგრამ რაოდენობრივი და რეალური უსასრულობა მაინც სხვადასხვაა: სამყაროში არ არსებობს წმინდა რაოდენობა ან წმინდა თვისებრიობა; ისინი ერთმანეთისაგან განუყრელია. ამიტომ რეალური უსასრულობა არ შეიძლება იყოს მხოლოდ რაოდენობრივი ან მხოლოდ თვისებრივი.

რაოდენობრივი უსასრულობის ცნების ნაკლოვანებანი ცხადი გახდა ჯერ კიდევ თანამედროვე მეცნიერების გარიჟრაჟზე. კერძოდ, გალილეი მიუთითებდა უსასრულობის წმინდა რაოდენობრივი განსაზღვრების არასაკმარისობაზე. მაგრამ რაოდენობრივი უსასრულობის ცნების დაძლევისათვის დიდი მნიშვნელობა ჰქონდა ჰეგელის თვალსაზრისს უსასრულობის შესახებ. ქვემოთ განვიხილავთ ჰეგელის მოძღვრებას უსასრულობაზე და ვაჩვენებთ მის დადებით და უარყოფით მხარეებს.

§3. ჰეგელის მოძღვრება უსასრულობის შესახებ.

ჰეგელი ერთმანეთისაგან განასხვავებს ორგვარ უსასრულობას: ცუდსა და ჭეშმარიტს. უსასრულობას, რომელიც სასრულის უსასრულო უარყოფას გამოხატავს, იგი „ცუდ უსასრულობას“ უწოდებს.

ცუდი უსასრულობის მთავარი ნაკლი, ჰეგელის აზრით, ისაა, რომ იგი სასრულსა და უსასრულოს ერთმანეთისაგან წყვეტს. უსასრულო ამ შემთხვევაში არის სასრულის უსასრულო უარყოფა, რის შედეგად კვლავ სასრული მიიღება და ა. შ. ცუდი უსასრულობა, ამტკიცებს ჰეგელი, არის „სასრულის უარყოფა, რომელიც კვლავ წარმოიშობა და, მაშასადამე, აგრეთვე არ იხსნება… აქ ერთი და იგივე მეორდება. ჯერ სვამენ საზღვარს, შემდეგ მას გადალახავენ და ასე უსასრულოდ. ჩვენ აქ, მაშასადამე, სხვა არაფერი არა გვაქვს, გარდა ზედაპირული ცვლისა, რომელიც სასრულის სფეროდან არასოდეს არ გადის“.^[20]

სწორედ ამიტომ ცუდი უსასრულობა, ჰეგელის მიხედვით, ერთი და იმავეს მოსაწყენი, უაზრო განმეორებაა; იგი არის პროგრესი უსასრულობაში (progressus in infinitum), მოსაბეზრებელი, საშინელი სიცარიელე. საშინელია „მხოლოდ და მხოლოდ მოწყენილობა, რომელსაც ჩვენში იწვევს საზღვრის განუწყვეტელი რიგ-რიგობითი დადგენა და მოსპობა, ისე რომ ბოლოს და ბოლოს ადგილიდან ვერ იძვრი“.^[21]

ცუდი უსასრულობა, ამტკიცებს ჰეგელი, ადგილის ტკეპნაა, ვინაიდან სასრული უსასრულოდ იხსნება და კვლავ წარმოიშობა; აღნიშნული უსასრულოდ მეორდება, რის გამოც შეუძლებელი ხდება სასრულის ფარგლებიდან გასვლა; სწორედ ამიტომ არის იგი უარყოფითი და ცუდი უსასრულობა. „ჰეგელი, – წერს ფ. ენგელსი, – სწორედ ასეთი საქმიანობის მოსაწყენი ხასიათის გამო ამ უსასრულობას ცუდ უსასრულობას უწოდებს“.^[22]

ცხადია, რომ ცუდი უსასრულობა სასრულობას თვისებრივად უპირისპირდება; ცუდი უსასრულობის შემთხვევაში სასრული და უსასრულო ერთმანეთისაგან სრულიად მოწყვეტილია; უსასრულო სასრულის იქით ძევს, მაგრამ სასრულს მოწყვეტილი უსასრულო, ამტკიცებს ჰეგელი, თვითონ იქცევა სასრულად. „ასეთი უსასრულო, – წერს იგი, – რომელიც მხოლოდ განსაკუთრებულია, რომელიც სასრულს გვერდით დგას და, მაშასადამე, ამ უკანასკნელში აქვს თავისი მიჯნა და საზღვარი, არის არა ის, რაც იგი უნდა იყოს, არ არის უსასრულო, არამედ მხოლოდ სასრული“.^[23]

ჭეშმარიტი უსასრულობა, ჰეგელის მიხედვით, არ არის progressus in infinitum, იგი არ არის სასრულის უსასრულოდ მოხსნა და დადგენა. ჭეშმარიტი უსასრულობის არსი სასრულისა და უსასრულოს ცალმხრივობის უარყოფასა და მათი ორგანული ერთიანობის დასაბუთებაშია. ეს, თავის მხრივ, შესაძლებელი ხდება იმიტომ, რომ ჭეშმარიტი უსასრულობა ჰეგელს ესმის, როგორც „თავის თავში დაბრუნება, თავის თავთან თანაფარდობა“.^[24] ჰეგელი ამოდის უსასრულობის ამ გაგებიდან და ცდილობს, ერთი მხრივ, უსასრულო პროგრესის (ცუდი უსასრულობის) ცალმხრივობის დაძლევას, ხოლო, მეორე მხრივ, ცუდი და ჭეშმარიტი უსასრულობის ერთმანეთისგან მკვეთრად გამიჯვნას. „უსასრულო პროგრესის ნიმუშია, – წერს ჰეგელი, – სწორი ხაზი … ჭეშმარიტ უსასრულობას კი, რომელიც თავის თავში მოკეცილია, ნიმუშად აქვს წრე, თავის თავთან მიღწეული ხაზი, რომელიც დახშული და მთლიანად მუნარსებულია, არა აქვს არც დასაწყისი და არც დასასრული წერტილი“.^[25]

ამრიგად, ჭეშმარიტი უსასრულობა, ჰეგელის მიხედვით, არის წრე, ცუდი უსასრულობა კი სწორხაზობრივია. იგი ჭეშმარიტ უსასრულობას იმ გველს ადარებს, რომელსაც თავისი კუდი პირში უჭირავს. ეს ნიშნავს, რომ ჭეშმარიტი უსასრულობის „დასასრული“ მის „დასაწყისს“ ერწყმის და მიიღება დამრგვალებული უსასრულობა.

ჭეშმარიტი უსასრულობა, ჰეგელის აზრით, აქტუალური უსასრულობაა; სწორედ ამიტომ იგი „დახშული“ და „მუნარსებული“ უსასრულობაა. სივრცისა და დროის უსასრულობა კი არის progressus in infinitum და არა ჭეშმარიტი უსასრულობა.

ჰეგელის მიერ ცუდი უსასრულობის კრიტიკა და მისი მოძღვრება ჭეშმარიტი უსასრულობის შესახებ ობიექტური იდეალიზმის დასაბუთებას ემსახურება. ჰეგელი, როგორც ცნობილია, ერთადერთ სუბსტანციად აბსოლუტურ სულს თვლის, რომელიც განუწყვეტლად ვითარდება. აბსოლუტური სულის განვითარება მის თვითშემეცნებაში გამოიხატება; შემეცნება ჰეგელის ფილოსოფიაში თვითშემეცნებას ნიშნავს. აბსოლუტური სულის განვითარებას, როგორც თვითშემეცნებას, უთუოდ წრიული ხასიათი უნდა ჰქონდეს; იგი სწორედ „თავის თავში დაბრუნება“, „ჩაკეტილობა“, „წრე“ და ა.შ. უნდა იყოს და არა სწორხაზობრივი. ამ შემთხვევაში, ცხადია, უსასრულო პროგრესის შესაძლებლობა გამორიცხულია. ამის საფუძველზე ყოველგვარი უსასრულობა, რომელიც აბსოლუტური სულის თვითშემეცნების გზას არ გამოხატავს (მაგ. სივრცისა და დროის უსასრულობა), „ცუდ უსასრულობად“ ცხადდება. აქედან ცხადია, რომ ჰეგელის მოძღვრება უსასრულობის შესახებ მისი იდეალისტური სისტემის არსებითი ნაწილია. იდეალიზმმა დაამახინჯა უსასრულობის თეორია: ამ დამახინჯების შედეგი კი არის ჰეგელის მოძღვრება ჭეშმარიტი უსასრულობის შესახებ.

ჰეგელის უსასრულობის თვალსაზრისს სხვა ნაკლიც აქვს.

ჰეგელი „ბრალს სდებს“ ცუდ უსასრულობას იმაში, რომ იგი სასრულის უსასრულო განმეორებაა, ერთი და იმავეს ერთფეროვანი ცვლა; მაგრამ ეს ნაკლი (კიდევ უფრო დიდი მასშტაბით) ჭეშმარიტ უსასრულობასაც ახასიათებს, რომელიც უსასრულო განვითარების შესაძლებლობას უარყოფს.^[26] წრიული მოძრაობა უფრო ერთფეროვანი და ერთი და იმავეს „საშინელი“ განმეორებაა, ვიდრე უსასრულო პროგრესი; წრიული მოძრაობა არ შეიძლება იყოს განვითარება.

ამრიგად, სინამდვილეში „ჭეშმარიტი უსასრულობა“ უფრო ცუდია, ვიდრე „ცუდი უსასრულობა“.

შემდეგ, ჭეშმარიტი უსასრულობა არსებითად სასრულობაა; ეს იმით დასტურდება, რომ ჩვენ შეგვიძლია წრიული მოძრაობის ნულოვანი მნიშვნელობის ნებისმიერი დაწესება, რომელიც „ჭეშმარიტი“ უსასრულობის „დასაწყისი“ (და იმავე დროს „დასასრული“) იქნება. თავის თავში დაბრუნება შეიძლება უსასრულობის დასრულებად – „გველის კუდად“ – ჩაითვალოს. გარდა ამისა, აბსოლუტური სული, როგორც ცნობილია, უსასრულოდ როდი ვითარდება; იგი შეიმეცნებს თავის თავს და ამით დაამთავრებს განვითარებას. აქედან გამომდინარეობს, რომ ჰეგელის „ჭეშმარიტი უსასრულობა“ არსებითად სასრულობაა და არა უსასრულობა. მეორე მხრივ, ჰეგელის მიერ „ცუდი უსასრულობის“ კრიტიკა სრულიად ცალმხრივია. სინამდვილეში აღმოჩნდება, რომ „ცუდი უსასრულობა“ არც ისე ცუდია, როგორც იგი ჰეგელს ჰგონია. კიდევ მეტიც, „ცუდი უსასრულობის“, ე. ი. უსასრულო პროგრესის, უარყოფა შეუძლებელია. „როდესაც ვამბობთ, – წერს ფ. ენგელსი, – რომ მატერია და მოძრაობა შეუქმნადი და მოუსპობადი არისო, ამით ჩვენ ვამბობთ, რომ სამყარო არსებობს, როგორც უსასრულო პროგრესი, ე. ი. ცუდი უსასრულობის ფორმით“.^[27] ფ. ენგელსი უარყოფს ჰეგელის აზრს, რომლის თანახმად, „ცუდი უსასრულობა“, ანუ უსასრულო პროგრესი, არის არა განვითარება, არამედ ერთი და იმავეს მუდმივი განმეორება. „სინამდვილეში, – წერს იგი, – ის (უსასრულო პროგრესი – ს. ა.) სულაც არაა განმეორება, წინსვლა ან უკანსვლა და ამით ის მოძრაობის აუცილებელ პირობად იქცევა“.^[28]

ჰეგელის წინააღმდეგ ენგელსი იცავს სივრცისა და დროის უსასრულობის თეზისს და მას რეალურ უსასრულობად მიიჩნევს. „უსასრულობა… დაუსრულებელი, დროსა და სივრცეში დაუსრულებლად გაშლილი მიმდინარეობაა“.^[29] ასეთ უსასრულობას ჰეგელი „ცუდ უსასრულობას“ უწოდებდა და მას ყოველმხრივ ლანძღავდა, ფ. ენგელსი კი, პირიქით, იცავს მას ჰეგელის თავდასხმისაგან. „ბუნებისა და ისტორიის ეს უსასრულო მრავალფეროვნება, – წერს იგი, – სივრცისა და დროის უსასრულობას – ცუდ უსასრულობას – შეიცავს, მხოლოდ როგორც მოხსნილს, თუმცა არსებითს, მაგრამ მაინც როგორც არაუპირატეს მომენტს“.^[30]

ყოველივე ზემოაღნიშნული ცხადყოფს ფ. ენგელსის უარყოფით დამოკიდებულებას ჰეგელის მოძღვრებისადმი უსასრულობის შესახებ. თუ აქვე გავითვალისწინებთ იმასაც, რასაც ფ. ენგელსი ამბობს ჰეგელის სისტემისა და მეთოდის წინააღმდეგობის შესახებ, მაშინ ცხადი გახდება ჰეგელისეული უსასრულობის შეუთავსებადობა დიალექტიკური მატერიალიზმის პრინციპებთან. ამიტომ ჩვენ ვერ დავეთანხმებით ვ. ი. სვიდერსკისა და ა. ს. კარმინს, რომლებიც ამტკიცებენ, რომ თითქოს „ცუდი უსასრულობის ჰეგელისეულ შეფასებას მხარს უჭერენ მარქსისტული ფილოსოფიის ფუძემდებლებიც“.^[31]

ჭეშმარიტი უსასრულობის უპირატესობას ჰეგელი იმაში ხედავს, რომ მას არა აქვს არც დასაწყისი და არც დასასრული; მაგრამ ზემოთ ვნახეთ, რომ იგი სინამდვილეში უსასრულობას სრულიადაც არ წარმოადგენს იმ გაგებით, როგორც იგი ჰეგელს ესმოდა (ვინაიდან ჭეშმარიტი უსასრულობა, როგორც წრიული, იმავე დროს სასრულობაცაა). მეორე მხრივ, „ცუდ უსასრულობას“, როგორც უსასრულო პროგრესს, ამ მიმართულებით გარკვეული უპირატესობაც კი გააჩნია. ვინაიდან სწორედ მას არა აქვს არც დასაწყისი და არც დასასრული (ამაშია უსასრულო პროგრესის არსი); სწორი ხაზი, როგორც „ცუდი უსასრულობის“ ნიმუში, უსასრულოა; იგი არც იწყება და არც მთავრდება. მაშასადამე, „ცუდი უსასრულობა“ ამ მხრივ „ჭეშმარიტ უსასრულობაზე“ უკეთესია.

„ჭეშმარიტი უსასრულობის“ ჰეგელისეული ცნების ხელოვნურობა იმითაც მტკიცდება, რომ ჰეგელი ბოლოს და ბოლოს „მეტაფიზიკური ცუდი უსასრულობის ნიადაგზე დარჩა“.^[32] რეალური მოვლენების შემეცნებისას ჰეგელს არ შეეძლო, არ გამოეყენებინა „ცუდი უსასრულობის“ ცნება, ვინაიდან სივრცისა და დროის უსასრულობა სწორედ ასეთი უსასრულობაა. კანტორი სრულიად სამართლიანად მიუთითებდა „ცუდი უსასრულობის“ ცნების უვარგისობაზე, ვინაიდან იგი სრულიადაც არ არის ცუდი, ყოველ შემთხვევაში – მათემატიკისათვის.

§4. რეალური სასრულობა და უსასრულობა

რაოდენობრივი უსასრულობის მთავარი შეცდომა ისაა, რომ იგი რაოდენობრიობასა და თვისებრიობას ერთმანეთისაგან წყვეტს, უსასრულობას მხოლოდ რაოდენობრიობის კუთხით განიხილავს. უსასრულობის პრობლემისადმი ამგვარი მიდგომის გამართლება მხოლოდ და მხოლოდ შემეცნების თვალსაზრისით შეიძლება. რაოდენობრივი უსასრულობა აბსტრაქტული უსასრულობაა – აბსტრაქციაა; რეალურად კი ასეთი უსასრულობა არ არსებობს.

რეალური საგნები რაოდენობრიობისა და თვისებრიობის ერთიანობაა; წმინდა რაოდენობრივი ან თვისებრივი განსაზღვრულობა არ არსებობს. რაოდენობრიობისა და თვისებრიობის ერთიანობას ზომა ეწოდება. აქედან გამომდინარეობს, რომ სინამდვილეში არსებული საგნები გარკვეულ ზომას წარმოადგენენ. ამის შესაბამისად, რეალური სასრულობა და უსასრულობა ზომის თვალსაზრისით უნდა განვიხილოთ.^[33]

ზემოთ აღვნიშნეთ, რომ რეალურ საგნებსა და მოვლენებს რაოდენობრივი და თვისებრივი საზღვრები აქვთ, რაც მათი რაოდენობრივი და თვისებრივი სასრულობის მაჩვენებელია. ამასთანავე, რაოდენობრივი სასრულობა უმთავრესად ფიზიკური ობიექტების ვრცეულ-დროულ განსაზღვრულობაში გამოიხატება. ყოველი საგანი განსაზღვრულია, ე. ი. საზღვარდებულია სხვა საგნების მიერ, ანუ სხვა საგნები მისი საზღვარია. მეორე მხრივ, საგნები სასრულია დროშიც; ეს ნიშნავს, რომ ისინი წარმოიშობიან, არსებობენ დროის გარკვეულ მონაკვეთში და, ბოლოს, ისპობიან. ამრიგად, რეალური საგნები და მოვლენები სივრცესა და დროში სასრულია, ანუ, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მატერიალური ობიექტების ფუნდამენტური ნიშანი რაოდენობრივი სასრულობაა.

მაგრამ საგნები და მოვლენები თვისებრივადაც სასრულია, რაც იმაში გამოიხატება, რომ ყოველ საგანს აქვს თვისებრივი განსაზღვრულობა – გარკვეულობა – და, მაშასადამე, ყველა სხვა საგნებისაგან ან მოვლენებისაგან თვისებრივად განსხვავდება. ასეთი თვისებრივი განსაზღვრულობის, ე.ი. თვისებრივი სასრულობის გარეშე ნივთთა შემეცნება შეუძლებელი იქნებოდა.

ამრიგად, რეალური საგნები და მოვლენები ორმხრივად – რაოდენობრივად და თვისებრივად – სასრულია; ამასთანავე, ისინი რაოდენობრიობისა და თვისებრიობის ერთიანობას, ე.ი. ზომას წარმოადგენენ. აქედან გამომდინარეობს, რომ საგნები და მოვლენები სასრულია ზომის მიხედვით (რაოდენობრივ-თვისებრივი სასრულობა). რეალური სასრულობა არის ზომის სასრულობა.

ზემოთ ვილაპარაკეთ რაოდენობრივი და თვისებრივი საზღვრებისა და ამის საფუძველზე რაოდენობრივი და თვისებრივი სასრულობის შესახებ. მაგრამ რაოდენობრივი და თვისებრივი საზღვრების (ისევე როგორც თვითონ რაოდენობრიობისა და თვისებრიობის) ერთმანეთისაგან გამოყოფა პირობითია; სინამდვილეში ისინი ყოველთვის ერთადაა მოცემული. ზუსტად რომ ვთქვათ, არსებობს მხოლოდ ერთი საზღვარი – ზომის საზღვარი. ამის შესაბამისად ბუნებაში არ არსებობს არავითარი რაოდენობრივი და თვისებრივი სასრულობა, არამედ არის მხოლოდ და მხოლოდ ზომის სასრულობა; ამრიგად, რეალური სასრულობა ზომის სასრულობაა.

ზომის სასრულობა, ასე ვთქვათ, მრგვალი სასრულობაა, ე.ი. ყველა მხრიდან სასრულობაა. ასეთ სასრულობას სასრული სასრულობა, ანუ უბრალოდ სასრულობა შეიძლება ვუწოდოთ. ყოველი რეალური საგანი ან მოვლენა სასრულ სასრულს, ანუ, უბრალოდ, სასრულს წარმოადგენს. ამ ცნების შინაარსი ქვემოთ უფრო ნათელი გახდება.

მაგრამ ყოველგვარი საზღვარი, მათ შორის, ზომის საზღვარიც (რაოდენობრივ-თვისებრივი საზღვარი) არა მხოლოდ გამოყოფს (განსაზღვრავს) ერთ საგანს მეორე საგნისგან, არამედ კიდეც აერთებს. ამ აზრით საზღვარი განსაზღვრულთა, ე.ი. სასრული ობიექტების, არა მხოლოდ მიჯნაა – მათი ერთმანეთისგან გამომყოფია, ზღვარმდებელია – არამედ, გარკვეული აზრით, კავშირიცაა – მათი ერთმანეთთან დამაკავშირებელია. აქედან გამომდინარეობს, რომ საზღვარი არა მხოლოდ სასრულობის, არამედ უსასრულობის საფუძველიცაა; მისგან ამოდის (მას ემყარება) როგორც რეალური სასრულობა, ასევე რეალური უსასრულობა.

რაოდენობრივ-თვისებრივი სასრულობა (ე.ი. ზომის სასრულობა) იმას ნიშნავს, რომ მოცემული საგანი არა მხოლოდ განსაზღვრულია, ე.ი. ზღვარდებულია სხვა საგნების მიერ, არამედ დაკავშირებულიცაა სხვასთან, „გადადის“ სხვაში. საზღვრის, როგორც სასრულობის საფუძვლის, დადგენა იმავე დროს მისი გადალახვაცაა (ეს კარგად შენიშნა ჰეგელმა). რეალური უსასრულობა საზღვრის უსასრულო გადალახვასა და ახალ-ახალი საზღვრის დადგენაში მდგომარეობს. ამდენად, რეალური უსასრულობა გვევლინება, როგორც სამყაროს უსასრულო ქმნადობა, რომლის შემდეგ კვლავ ახალი სასრული მიიღება. სამყარო უსასრულოდ მოძრაობს, იცვლება, ვითარდება; ეს ნიშნავს არსებული ზომის დარღვევისა და ახალი ზომის წარმოშობის უსასრულოდ განმეორებადობას.

ამ უსასრულო ქმნადობის შედეგად ყოველთვის ისევ სასრული მიიღება, სამყარო სასრული საგნებისა და მოვლენების სახით არსებობს, ანუ, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, კონკრეტული საგნები და მოვლენები რაოდენობრივ-თვისებრივ სასრულობას (ზომის სასრულობას) წარმოადგენენ. ზომათა უსასრულო ქმნადობა სამყაროს უსასრულო მოძრაობა-ცვალებადობას ნიშნავს. ვინაიდან ასეთი უსასრულო ქმნადობის შედეგად ისევ და ისევ სასრული მიიღება, ამიტომ ასეთ უსასრულობას შეიძლება უსასრულო სასრულობა ეწოდოს. სასრული ამ შემთხვევაში უსასრულოდ მეორდება, ე. ი. უსასრულო ქმნადობის შედეგად უსასრულო არასოდეს არ მიიღება (სამყაროში უსასრულო საგნები და მოვლენები არ არსებობენ), არამედ მიიღება მხოლოდ სასრული.

მხოლოდ სასრულის („სასრული სასრულის“) არსებობის აღიარება, ე.ი. მხოლოდ სასრული საგნებისა და მოვლენების არსებობის დაშვება, და უსასრულობის უარყოფა აბსტრაქციაა, ვინაიდან სინამდვილეში სასრული და უსასრულო ერთმანეთისაგან განუყრელია. სასრულის არსებობა უსასრულოს გარეშე შეუძლებელია. სასრული სწორედ იმიტომ არის სასრული („დასრულებული“, „განსაზღვრული“), რომ იგი სხვასთანაა დაკავშირებული (სხვა ხდის მას სასრულს, ადგენს რა მის რაოდენობრივ-თვისებრივ საზღვარს). მეორე მხრივ, უსასრულობა სასრულთა კავშირია, იგი სასრულის საზღვარს იქით უსასრულოდ გასვლის, ზომის დარღვევისა და ახალ-ახლის დადგენის უსასრულო მიმდინარეობაა. ეს ნიშნავს, რომ სასრულობა და უსასრულობა ერთი და იმავე მედლის ორი სხვადასხვა მხარეა; ისინი პრინციპულ ერთიანობაშია, ერთმანეთის არსებობას გულისხმობენ.

ამგვარი უსასრულობა („უსასრულო სასრულობა“) არის progressus in infinitum; იგი სასრულის (როგორც რაოდენობრიობისა და თვისებრიობის ერთიანობის, ე.ი. ზომის) მოხსნისა და ხელახალის წარმოშობის უსასრულო რიგია. ამ აზრით უსასრულობა სასრულოთაგან შედგება.^[34] უსასრულო სასრულობა (ანუ უსასრულოდ სასრული), როგორც progressus in infinitum, „ცუდ უსასრულობას“ ჰგავს; მაგრამ სხვა მხრივ კი იგი „ცუდი უსასრულობისაგან“ არსებითად განსხვავდება. კერძოდ, „ცუდი უსასრულობის“ ქვეშ მხოლოდ და მხოლოდ პოტენციალური, ე. ი. რაოდენობრივი უსასრულობა იგულისხმება; ეს კი სასრულობისა და უსასრულობის ერთმანეთისაგან მოწყვეტას ნიშნავს.^[35] უსასრულო სასრულობა კი, როგორც უსასრულო პროგრესი, ზომათა (ე. ი. რაოდენობრიობისა და თვისებრიობის ერთიანობის) უსასრულობაა და, ამრიგად, სასრულობასა და უსასრულობას არა მარტო არ წყვეტს, არამედ მათ ორგანულად აერთიანებს. სასრულობა და უსასრულობა, ამ შემთხვევაში, ერთი და იმავე სინამდვილის ორი სხვადასხვა მხარეა. „აბსოლუტური და ფარდობითი, სასრული და უსასრულო = ნაწილები, საფეხურები ერთი და იმავე სამყაროსი“.^[36]

ამრიგად, მართალია, უსასრულო სასრულობა თავის თავში „ცუდ უსასრულობას“ (უსასრულო პროგრესს) შეიცავს, მაგრამ მასზე არ დაიყვანება. სწორედ ამიტომ ამბობს ფ. ენგელსი, რომ „ბუნებისა და ისტორიის ეს უსასრულო მრავალფეროვნება სივრცისა და დროის უსასრულობას – ცუდ უსასრულობას – შეიცავს მხოლოდ როგორც მოხსნილს, თუმცა არსებითს, მაგრამ მაინც როგორც არაუპირატეს მომენტს“.^[37] იქვე ფ. ენგელსი ამტკიცებს, რომ უსასრულო პროგრესი („ცუდი უსასრულობა“) სრულიადაც არ არის განმეორება, არამედ განვითარება. „ამით ის, – დაასკვნის ფ. ენგელსი, – მოძრაობის აუცილებელ ფორმად იქცევა“.^[38]

უსასრულო სასრულობა, როგორც უსასრულო პროგრესი, სწორხაზობრივი წესრიგია. ამგვარი უსასრულობისაგან უნდა განვასხვაოთ წრიული უსასრულობა, ე. ი. ისეთი უსასრულობა, რომელსაც წრის ფორმა აქვს. მართლაც, წრიული (სფეროსებური) მოძრაობა შეიძლება უსასრულო მოძრაობად ჩაითვალოს, ვინაიდან წრეს არა აქვს დასაწყისი და დასასრული, ანუ მასში „დასაწყისი“ და „დასასრული“ ერთმანეთშია შერწყმული. ამ გაგებით წრიული (სფეროსებური) მოძრაობა არის უსაზღვრო – უსასრულო მოძრაობა. ჰეგელი მართალი იყო, როდესაც მან წრიული (ანუ „ჭეშმარიტი“) უსასრულობა უსასრულო პროგრესისაგან განასხვავა, მაგრამ არ იყო მართალი, როდესაც იგი „ჭეშმარიტ უსასრულობას“ რეალურ უსასრულობად თვლიდა. უსასრულობა, როგორც წრე, რასაკვირველია, უსასრულო პროგრესისაგან განსხვავდება, მაგრამ მას უსასრულო პროგრესთან შედარებით არავითარი უპირატესობა არა აქვს.

მაგრამ, მეორე მხრივ, წრე სასრულია. წრის სასრულობას აინშტაინი ასეთი მაგალითით ასაბუთებს: „თუ გლობუსზე ქაღალდის დისკოებს ისე დავაწვებით, რომ ორი დისკო არსად ერთმანეთზე არ იყოს დადებული, მაშინ ბოლოს და ბოლოს ისე შევავსებთ გლობუსის ზედაპირს, რომ ახალი დისკოსათვის ადგილი აღარ დარჩება. ეს ნიშნავს, რომ გლობუსის სფეროსებური ზედაპირი სასრულია ქაღალდის დისკოების მიმართ“.^[39]

მაშასადამე, წრე ერთსა და იმავე დროს სასრულიცაა და უსასრულოც; რამდენადაც წრიული მოძრაობა (მაგ., ციური სხეულებისა) ერთი და იმავე მიმდინარეობის განმეორებაა, ამდენად იგი სასრულია, მაგრამ, მეორე მხრივ, რამდენადაც მას არა აქვს არც დასაწყისი და არც დასასრული (სივრცითი ნულოვანი მნიშვნელობის აზრით), ამდენად იგი უსასრულოა. ამრიგად, წრიული მოძრაობა (ისევე როგორც უსასრულო პროგრესი) სასრულობისა და უსასრულობის ერთიანობაა, მაგრამ სულ სხვა კუთხით. ამგვარ უსასრულობას შეიძლება სასრული უსასრულობა ეწოდოს.

ჰეგელი არ იყო მართალი, როდესაც წრიულ უსასრულობას „ჭეშმარიტ“, ერთადერთ ნამდვილ უსასრულობად თვლიდა, ხოლო უსასრულო პროგრესის (უსასრულო სასრულის) ნამდვილობას უარყოფდა. ასეთი უსასრულობა მართლაც არსებობს, მაგრამ იგი სრულიადაც არ არის უსასრულობის ერთადერთი შესაძლებელი ფორმა და, მით უმეტეს, მას არავითარი უპირატესობა არა აქვს უსასრულო სასრულობასთან შედარებით. სასრული უსასრულობა (წრიული უსასრულობა), რასაკვირველია, არ შეიძლება ჭეშმარიტ უსასრულობად ჩაითვალოს „წმინდა“ უსასრულობის მნიშვნელობით, ვინაიდან იგი სწორედ სასრული უსასრულობაა, ე. ი. სასრულისა და უსასრულოს ერთიანობა.

სასრული უსასრულობის თვალსაზრისთან ახლოს დგას პროფ. ს. წერეთლის უსასრულო დასკვნების თეორია, რომელიც ჩამოყალიბებულია მის გამოკვლევებში დიალექტიკური ლოგიკის დარგში.^[40] ნამდვილი უსასრულობა, ს. წერეთლის აზრით, რეფლექსურობით ხასიათდება; იგი თავის გარეთ კი არ არის მიმართული, არამედ თავის შიგნით, ანუ მას თავისი საფუძველი თავის თავში აქვს. სასრული ისაა, რაც სხვით ფუძნდება, სხვას ემყარება, რასაც თავისი არსება, თავისი საფუძველი სხვაში აქვს; უსასრულო კი, პირიქით, თვითსაფუძვლის მქონეა, თავის თავისკენაა მიბრუნებული, რეფლექსურია. ყველაზე მკაცრი აუცილებლობა შინაგანი აუცილებლობაა და არა გარეგანი; სწორედ ამიტომ ამგვარად გაგებული უსასრულოს აუცილებლობა ყველაზე მკაცრი, სრული აუცილებლობაა.

უსასრულობის ამ გაგებას ემყარება ს. წერეთლის უსასრულო დასკვნის თეორია; უსასრულო დასკვნა, რომლის ცნებაზეც ს. წერეთელმა დიალექტიკური ლოგიკა დააფუძნა, ისეთი დასკვნაა, რომელიც თავის უარყოფით თავის თავს ასაბუთებს. ჭეშმარიტების უარყოფა თვითონ ასაბუთებს (ყველაზე მკაცრი ლოგიკური აუცილებლობით) ჭეშმარიტებას, უარყოფის უარყოფა თვითონ არის უარყოფის დადგენა, იგივეობის უარყოფა შეუძლებელია თვითონ იგივეობის მოხმარების გარეშე, ვინაიდან იგივეობის უარყოფისას თვითონ ეს უარყოფა არის იგივეობრივად აღებული, ზოგადის უარყოფა იმავე დროს არის ზოგადის დადგენა, ვინაიდან ასეთი უარყოფა თვითონ არის ზოგადი და ა. შ. ამრიგად, უარყოფის გზით დასაბუთება უსასრულო დასკვნის არსებითი ნიშანია, რომელშიც ყველაზე მკაცრად მჟღავნდება ლოგიკური აუცილებლობა. უსასრულო დასკვნა უარყოფის გზით დასაბუთებაა. იგი დაპირისპირებულთა ერთიანობაა და ესაა მისი დიალექტური ხასიათი.

ს. წერეთელმა სწორედ უსასრულო დასკვნის ცნებაზე ააგო დიალექტიკური ლოგიკა, რომელსაც იგი აზრის ფორმებში განხორციელებულ დაპირისპირებულთა ერთიანობის ლოგიკად თვლიდა. იგი ფიქრობდა, რომ დიალექტიკური ლოგიკა არის გაშლილი უსასრულო დასკვნა, ხოლო უსასრულო დასკვნა, პირიქით, არის შეკუმშული – ერთი ლოგიკური კავშირის სახით წარმოდგენილი – დიალექტიკური ლოგიკა.

მაგრამ ს. წერეთლის ლოგიკური თეორიის განხილვა ამჟამად ჩვენს მიზანი არ არის.^[41] აქ ჩვენთვის უფრო საინტერესოა საკუთრივ უსასრულობის ის ხედვა, რომელიც საფუძვლად უდევს უსასრულო დასკვნის თეორიას. უსასრულო, ანუ დაუბოლოებელი, ს. წერეთლის მიხედვით, არის ის, „რომლის უარყოფა მას ასაბუთებს“. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, „ის, რაც შინაგანი უარყოფით დგინდება, არის დაუბოლოებელი; ის, რის უარყოფაც მასვე ადგენს, დაუბოლოებელია“.^[42] ამგვარად გაგებული უსასრულობა რეფლექსურობით ხასიათდება; იგი თავის თავისკენაა მიბრუნებული, თავისი არსებობის საფუძველი თავის თავში აქვს, ანუ თვითსაფუძვლის მქონეა. ეს არის სწორედ (ფიგურალურად რომ ვთქვათ) „მრგვალი“, „სფეროსებური“, ანუ თავის თავისაკენ მიმართული უსასრულობა, რითაც იგი უსასრულო სასრულისაგან, როგორც უსასრულო პროგრესისაგან, განსხვავდება. უსასრულო სასრული, როგორც სასრულის უსასრულო მოხსნა, თავის გარეთაა მიმართული; უსასრულობა, ამ შემთხვევაში, სასრულის ფარგლებს გარეთ გასვლის უსასრულო მისწრაფებაში გამოიხატება; რეფლექსური უსასრულობის შემთხვევაში კი უსასრულობა თავის თავისკენაა მიმართული და სწორედ ამიტომ მას სფეროსებური, ჩაკეტილი ფორმა აქვს.

მაგრამ ამავე მიზეზით რეფლექსური უსასრულობა სასრულობისა და უსასრულობის ერთიანობაა; იგი არსებითად არის სასრული უსასრულო, ვინაიდან, როგორც აღვნიშნეთ, სფერო ისეთი უსასრულობაა, რომელიც, იმავე დროს, სასრულობაა. ასეთ უსასრულოს ს. წერეთელი „ნამდვილ დაუბოლოებელს“ (უსასრულოს) უწოდებს. იგი წერს: „ნამდვილი დაუბოლოებელი არის დაბოლოებულისა და მისი საპირისპირო დაუბოლოებლის ერთიანობა“.^[43]

ახლა განვიხილოთ უსასრულო სასრულისა და სასრული უსასრულოს ურთიერთობის რამდენიმე ძირითადი მხარე.

უსასრულო სასრულობა და სასრული უსასრულობა ერთმანეთზე არ დაიყვანება, ვინაიდან წრიული მოძრაობა და უსასრულო პროგრესი ფორმის მიხედვით ერთმანეთისგან განსხვავდებიან.

სასრული უსასრულო, რასაკვირველია, სასრული სასრულისგან არსებითად განსხვავდება. პირველი მათგანი ისეთი სასრული, რომელიც, იმავე დროს, უსასრულობაცაა, მეორე კი მხოლოდ სასრულია და არა ამასთანავე უსასრულოც. სახელწოდება „სასრული სასრული“ სწორედ იმას ემსახურება, რომ იგი მეორე სახის სასრულისაგან (სასრული უსასრულოსგან) განვასხვაოთ.

მაგრამ უსასრულო სასრულსა და სასრულ უსასრულოს ბევრი რამ აქვს საერთო; საკმარისია ითქვას, რომ ორივე სახის უსასრულოს თან ახლავს სასრულობა; ამიტომ ისინი არ არიან აბსოლუტურად უსასრულო, არამედ მხოლოდ და მხოლოდ რელატიურად უსასრულონი არიან. უფრო სწორად რომ ვთქვათ, ასეთი უსასრულობა ფსევდოუსასრულობაა, ე.ი.  ისეთი უსასრულობა, რომელიც აბსოლუტური უსასრულობის როლს ასრულებს, თუმცა იგი თავისთავად რელატიური უსასრულობაა.

ფსევდოუსასრულობის მაგალითი კანტორის ტრანსფინიტური რიცხვებია. ეს რიცხვები უსასრულოა მხოლოდ და მხოლოდ თავიანთ რიგში და არა საერთოდ, ამიტომ ისინი ფსევდოუსასრულო რიცხვებია. თვითონ კანტორი ასეთ უსასრულობას არ მიიჩნევდა ჭეშმარიტ, ე. ი. აბსოლუტურ უსასრულობად, თუმცა მათ სასრული ობიექტებისაგანაც განასხვავებდა. სწორედ ამას გამოხატავს ცნება „ტრანსფინიტური“ (trans finitus – „სასრულს იქით“). ტრანსფინიტური რიცხვები, თუ შეიძლება ასე ითქვას, სასრულსა და უსასრულოს „შუაში“ იმყოფებიან.

რაკი ფსევდოუსასრულო არსებობს, ამიტომ უნდა არსებობდეს აგრეთვე უსასრულოდ უსასრულო, ანუ უსასრულო უსასრულობა, რომლის ქვეშ აბსოლუტური, „ჭეშმარიტი“ უსასრულობა იგულისხმება. როდესაც სასრულობა მთლიანად მოიხსნება, მაშინ წმინდა უსასრულობას მივიღებთ, ე. ი. ისეთ უსასრულო უსასრულობას, რომელიც ყოველი მხრით უსასრულოა და სასრულობას მთლიანად გამორიცხავს.

როგორც წმინდა სასრულობა („სასრული სასრულობა“), ასევე წმინდა უსასრულობა („უსასრულო უსასრულობა“) მხოლოდ და მხოლოდ აბსტრაქციებია: ეს ნიშნავს, რომ ბუნებაში არაფერი არ არის სასრული სასრული ან უსასრულო უსასრულო; რეალურ სამყაროში სასრულობა და უსასრულობა ყოველთვის ერთადაა მოცემული. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სინამდვილეში არსებობს მხოლოდ ფსევდოუსასრულო, როგორც სასრულობისა და უსასრულობის ერთიანობა, ე.ი. როგორც რელატიური სასრულობა და რელატიური უსასრულობა.

მაგრამ სასრული სასრული და უსასრულოდ უსასრულო მაინც არ არის გონების ფუჭი გამონაგონი. ისინი ისეთი აბსტრაქციებია, რომელთაც რეალური სამყაროს შემეცნებისათვის დიდი მნიშვნელობა აქვთ. ასეთი აბსტრაქციაა, მაგალითად, მატერიის ცნება, თუმცა მისი რეალობის უარყოფა შეუძლებელია. ასეთივე სასარგებლო აბსტრაქციებია სასრული სასრული და უსასრულოდ უსასრულო.

ჯერ კიდევ ძველ ფილოსოფიაში ერთმანეთისაგან განასხვავებდნენ ორგვარ უსასრულობას: უსასრულობას „ჩვეულებრივი აზრით“ და უსასრულო უსასრულობას, ანუ აბსოლუტურ უსასრულობას. ასეთი განსხვავება ყველაზე ადრე ანაქსაგორასთან შეიმჩნევა, რომელიც ამტკიცებდა, რომ „არსებული არა უბრალოდ უსასრულოა, არამედ უსასრულოდ უსასრულო“.^[44] „უბრალო უსასრულობის“ ქვეშ რელატიური უსასრულობა (სასრული უსასრულობა ან უსასრულო სასრულობა) იგულისხმება, ხოლო „უსასრულო უსასრულობის“ ქვეშ – აბსოლუტური უსასრულობა. უსასრულობის ამ ორი სახის ერთმანეთისაგან განსხვავება ფილოსოფიაში მტკიცედ დამკვიდრდა. შუა საუკუნეების თეოლოგიური ფილოსოფია და ნაწილობრივ ადრეული რენესანსის მოაზროვნეებიც აბსოლუტური უსასრულობის ცნებიდან ამოდიოდნენ. მაგალითად, ნ. კუზანელი „აბსოლუტური მაქსიმუმის“ – ღმერთის – არსებობას ამტკიცებდა, რომელშიც შესაძლებლობა და სინამდვილე ერთმანეთს ემთხვევა. თუ აბსოლუტური უსასრულობა არსებობს, მაშინ, ცხადია, რელატიური უსასრულობაც უნდა არსებობდეს.

უსასრულობის ამგვარი გაგება მომდევნო ეპოქის ფილოსოფიაშიც გვხვდება; ჯ. ბრუნო სამყაროს აბსოლუტურ უსასრულობას ამტკიცებდა; დეკარტი ერთმანეთისაგან განასხვავებდა infinitum-სა და indefinitum-ს. Infinitum-ის ქვეშ იგი აბსოლუტურ უსასრულობას გულისხმობდა და, ტრადიციის თანახმად, ამ ცნებას მხოლოდ ღმერთის მიმართ იყენებდა. Indefinitum კი განუსაზღვრელობას ნიშნავს და იგი მატერიალური სამყაროს საგნებისა და მოვლენების ასახსნელად მოიხმარება. აბსოლუტური, ჭეშმარიტი, ნამდვილი უსასრულობა, დეკარტის მიხედვით, infinitum, ე. ი. უსასრულო უსასრულობაა, ხოლო indefinitum – რელატიური უსასრულობა.

ლაიბნიციც ხმარობს „ჭეშმარიტი უსასრულობის“ ცნებას.^[45] მონადები აბსოლუტურად უსასრულო სუბსტანციებია.

არსებითად ასევე შეიძლება ითქვას სპინოზას შესახებ. იგი ერთმანეთისაგან განასხვავებს „აბსოლუტურ უსასრულობასა“ და „უსასრულობას თავის გვარში“.^[46] თავის გვარში უსასრულო უსასრულოა მ ხ ო ლ ო დ თავის გვარში, ე. ი. თავის თავში გარკვეულ უარყოფას შეიცავს. ამგვარი უსასრულო არა მარტო უსასრულოა, არამედ სასრულიც, ე. ი. სასრულობისა და უსასრულობის ერთიანობაა. ამგვარად, სუბსტანცია, სპინოზას მიხედვით, აბსოლუტურად უსასრულოა. მისი ატრიბუტები კი უსასრულოა მხოლოდ „თავიანთ გვარში“ (რელატიური უსასრულობა). მოკლედ რომ ვთქვათ, სუბსტანცია უსასრულოა infinitum-ის აზრით, ატრიბუტები კი – indefinitum-ის აზრით.

უსასრულობის პრობლემის ზოგიერთი მხარის ამ ანალიზიდან ცხადია, რომ უსასრულობის ცნება სხვადასხვა აზრით მოიხმარება. უსასრულობის პრობლემის მეცნიერული გადაწყვეტა ამ პრობლემის სხვადასხვა საკითხის დეტალურ ანალიზს უნდა დაემყაროს.

[1] ფ. ენგელსი „ანტი-დიურინგი“, გვ. 61-62.

[2] ვ. ი. ლენინი, თხზულებანი, ტ. 38. გვ. 103.

[3] ვ. ი. ლენინი, თხზულებანი, ტ. 38, გვ. 102-103.

[4] Д. Гильберт, Основания геометрии, М. Л. 1948, გვ. 350.

[5] A. Moszkowski, Der Aufbau des Unendliches, Berlin, 1925.

[6] ს. წერეთელი, ლოგიკური კავშირის დიალექტიკური ბუნების შესახებ, თბ., 1956, გვ. 148.

[7] Больцано, Парадоксы бесконечного, Одесса, გვ.11.

[8] იქვე, გვ. 13.

[9]  А. Маковельский, Досократики, ч III, казань, 1919, გვ. 153.

[10] З. А. Петров, Логические проблемы абстракции бесконечности и осуществи-мocти, M., 1967, გვ. 69.

[11] A. Mаковельский, Досократики, ч III, казань, 1915, გვ. 154.

[12] სწორედ ამიტომ პლატონი და არისტოტელე მატერიას უსასრულობად თლიდნენ.

[13] არისტოტელე, ფიზიკა, III, 6, 206 a.

[14] А. Пуанкаре, Наука и метод, გვ. 255.

[15] С. Т. Мелюхин, Проблема конечного и бесконечного, М., 1958, გვ, 176-182.

[16] Б. Риман, О гипотезах, лежащих в основании геометрии, იხ. კრებ., об основания геометрии, М., 1956, გვ. 322.

[17] А. Я. Хинчин, Краткий курс математического анализа, М., 1955, გვ. 32.

[18] Г. Кантор, К учению о трансфинитивном, «Новые идеи в математике», Cб б. СПб., 1914, გვ. 122—123.

[19] ფ. ენგელსი, ბუნების დიალექტიკა, გვ. 287.

[20] Гегель, Сочинения, т. I, М, Л., 1929 გვ. 160-161.

[21] იქვე, გვ.180.

[22] ფ. ენგელსი, ანტი-დიურინგი, გვ.63.

[23] Гегель, Сочинения, т. I, გვ. 162.

[24] Гегель, Сочинения, т. V, М., 1937 გვ. 151.

[25] იქვე, გვ. 151-152.

[26] ცნობილია, რომ ჰეგელის იდეალისტური სისტემა უსასრულო განვითრების შესაძლებლობას გამორიცხავს; ამაში გამოიხატა სისტემისა და მეთოდის წინააღმდეგობა ჰეგელის ფილოსოფიაში.

[27] ფ. ენგელსი, ბუნების დიალექტიკა გვ. 247.

[28] იქვე, გვ.248.

[29] ფ. ენგელსი, ანტი-დიურინგი, გვ. 62.

[30] ფ. ენგელსი, ბუნების დიალექტიკა, გვ. 247.

[31] В. И. Свидерский, А. С. Кармин, Конечное и 6ecконeчнoe, M., 1966, გვ. 104.

[32] В. И. Свидерский, Некоторые вопросы диалектикиизменения и развития, M., 1965, გვ. 100.

[33] ამგვარი განხილვის აუცილებლობაზე ვ. ი. სვიდერსკიმ და ა. ს. კარმინმა მიუთითეს (იხ. В. И. Свидерский, А. С. Кармин, Конечное и 6ecконeчнoe, M., 1966; В. И. Свидерский, Некоторые вопросы диалектикиизменения и развития, M., 1965.)

[34] ფ. ენგელსი, ბუნების დიალექტიკა, გვ. 244.

[35] მაგრამ ეს არ ნიშნავს პოტენციალური (ანუ „ცუდი“) უსასრულობის უარყოფას; პოტენციალური უსასრულობის აბსტრაქტული ხასიათი სწორედ უსასრულობის რაოდენობრივი მხარის თვისებრივისაგან მოწყვეტაში გამოიხატება. ამ გაგებით იგი აბსტრაქტულია, რომელსაც მათემატიკაში წარმატებით იყენებენ.

[36] ე. ი. ლენინი, თხზულებანი, ტ. 38 გვ. 99.

[37] ფ. ენგელსი, ბუნების დიალექტიკა, გვ.247.

[38] იქვე, გვ.248.

[39] А. Эйнштейн, Собрание научных трудов, т. II. გვ. 91.

[40] ს. წერეთელი, დასკვნის პრობლემისათვის იხ. „ფილოსოფიის ინსტიტუტის შრომები“, ტ. I, თბ., 1949; მისივე – ლოგიკურის მარქსისტულ-ლენინური გაგებისათვის, თბ., 1952; მისივე – ლოგიკური კავშირის დიალექტიკური ბუნების შესახებ, თბ., 1956; მისივე – დასაბუთების საწყისი, თბ., 1963; მისივე დიალექტიკური ლოგიკა, თბ., 1965.

[41] ეს თეორია საკმაოდ ვრცლად გადმოცემულია ჩვენს წიგნში: „სავლე წერეთელი” თბ., 1973.

[42] ს. წერეთელი, ლოგიკური კავშირის დიალექტიკური ბუნების შესახებ, გვ.180.

[43] ს. წერეთელი, ლოგიკურის მარქსისტულ-ლენინური გაგებისთვის, გვ.106.

[44] A, O. Маковельский, досократики, ч. III, გვ. 153.

[45] იგი წერს: „ჭეშმარიტი უსასრულობა, ამ სიტყვის ზუსტი მნიშვნელობით, მხოლოდ აბსოლუტურში მდგომარეობს, რომელიც წინ უსწრებს ყოველგვარ გაერთიანებას და ნაწილთა მიმატების გზით არ არის შექმნილი“.

[46] სუბსტანცია (ღმერთი) აბსოლუტურად უსასრულოა, ვინაიდან იგი უსასრულო ატრიბუტებისაგან შედგება და „თავის თავში არავითარ უარყოფას არ შეიცავს“.